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我们首先将所讨论的和与Dirichlet核联系起来，找到其取得最大值的点，然后证明在$n\to\infty$极限下，这个最大值收敛到经典的正弦积分
$$
\Si(\pi)\;=\;\int_{0}^{\pi}\frac{\sin t}{t}\,dt.
$$
回忆Dirichlet核
$$
D_n(t)\;=\;\sum_{k=-n}^{n}e^{ikt}=\;1 \;+\;2\sum_{k=1}^n\cos(kt)=\;\frac{\sin\!\bigl((n+\tfrac12)t\bigr)}{\sin(t/2)}.
$$
由于
$$
\int_{0}^{x}D_n(t)\,dt=\int_{0}^{x}\Bigl(1+2\sum_{k=1}^n\cos(kt)\Bigr)\,dt=x +2\sum_{k=1}^n\frac{\sin(kx)}{k},
$$
我们立刻得到恒等式
$$
\sum_{k=1}^n\frac{\sin(kx)}{k}=\frac12\int_{0}^{x}D_n(t)\,dt\;-\;\frac{x}{2}.
$$
如果我们将
$$
F_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{\sin(kx)}{k}
$$
看作在区间$0<x<\pi$上的函数，则其临界点满足
$$
F_n'(x)=\sum_{k=1}^n\cos(kx)
=\frac{D_n(x)-1}{2}
=0
\quad\Longrightarrow\quad
D_n(x)=1.
$$
然而，$\displaystyle\int_0^x D_n(t)\,dt$的第一个局部最大值实际上出现在$D_n$的第一个正零点处，即
$$
x_n=\frac{\pi}{\,n+\tfrac12\,}.
$$
可以验证（通过比较核的相邻极值）$F_n(x)$在$(0,\pi)$上的全局最大值确实出现在这里。
我们令$x=x_n$，则有
$$
F_n(x_n)=\sum_{k=1}^n\frac{\sin\bigl(k\,\tfrac{\pi}{n+1/2}\bigr)}{k}=\frac12\int_{0}^{x_n}D_n(t)\,dt-\frac{x_n}{2}.
$$
由于$x_n\to0$当$n\to\infty$时，$-x_n/2$项在极限中消失。因此
$$
\lim_{n\to\infty}F_n(x_n)=\frac12\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{x_n}\frac{\sin\bigl((n+\tfrac12)t\bigr)}{\sin(t/2)}\,dt.
$$
做变量替换
$$
u=(n+\tfrac12)\,t,\qquad
t=\frac{u}{\,n+\tfrac12\,},\qquad
dt=\frac{du}{\,n+\tfrac12\,}.
$$
于是
$$
\int_{0}^{x_n}
\frac{\sin\!\bigl((n+\tfrac12)t\bigr)}{\sin(t/2)}\,dt=\int_{0}^{\pi}
\frac{\sin u}{\sin\!\bigl(u/(2n+1)\bigr)}\frac{du}{\,n+\tfrac12\,}.
$$
但对于固定$u$且$n\to\infty$，
$\displaystyle\sin\!\bigl(u/(2n+1)\bigr)\sim u/(2n+1)$。因此被积函数趋于
$$
\frac{\sin u}{\,u/(2n+1)\,}\,\frac1{\,n+1/2\,}=2\;\frac{\sin u}{u},
$$
且积分区间$[0,\pi]$是固定的。由Lebesgue控制收敛定理，
$$
\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{x_n}D_n(t)\,dt=\int_{0}^{\pi}\lim_{n\to\infty}D_n(t)\,dt=2\int_{0}^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,du=2\Si(\pi).
$$
因此
$$
\lim_{n\to\infty}F_n(x_n)=\;
\frac12\;\bigl(2\,\Si(\pi)\bigr)=\;
\Si(\pi)
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爪机专用
Posted 2013-11-8 21:26
kuing
Posted 2013-11-9 00:26
