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Last edited by Czhang271828 2023-3-17 14:56一个简单的构造: 假定 $h(x)=x$, 下证明 $h$ 可被写作两个周期分别为 $p$ 与 $q$ 的函数之和. 其中, $p$ 与 $q$ 是 $\mathbb Q$-线性无关的实数, 换言之 $\{p,q\}$ 生成的 $\mathbb Q$-线性空间 $V$ 秩为 $2$.
今依照选择公理假定 $\mathbb R$ 上存在如下等价关系划分的等价类: $x\sim y$ 当且仅当 $x-y\in V$. 取 $\{x_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ 为所有等价类的代表元. 从而对任意 $x\in\mathbb R$, 存在唯一的 $\lambda_0\in\Lambda$, $r,s\in\mathbb Q$, 使得 $x=x_{\lambda(x)}+pr+qs$. 将 $x_{\lambda_0}$, $r$ 与 $s$ 视作 $x$ 的函数. 定义
\[
f(x)=\dfrac{x_{\lambda_0(x)}}{2}+pr(x),\quad g(x)=\dfrac{x_{\lambda_0(x)}}{2}+qs(x).
\]
注意到 $f(x)+g(x)=x$. 由于 $g(x+q)-g(x)=q$, 故 $f(x+q)=f(x)$. 同理, $g(x+p)=g(x)$.
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更一般的结论: 非退化 $n$ 次多项式至少且必定可表示成 $n+1$ 个周期函数的和, 下对 $n=2$ 的情况加以说明.
先说明 $2$ 次多项式 $P(x)$ 不能写作两个周期函数 $f(x)+g(x)$ 的和. 若可以, 记 $f$ 的其中一个周期为 $T>0$, 则 $P(x+T)-P(x)=g(x)$ 为周期函数, 这也意味着非退化一次函数是周期函数, 矛盾. 这个就是六楼对原题的直接回答.
再说明 $P(x)$ 可被写作三个周期函数的和, 不妨设 $P(x)=x^2$. 记 $S$ 为 $\mathbb Q$-线性空间 $\mathbb R$ 的一组基底, 对任意 $s\in S$, 定义示性函数 $\chi_s(x)$ 使得存在有限和 $\sum_{s\in S}s\chi_s(x)=x$, 即 $x$ 关于线性空间基 $S$ 之分解. 同理, $P(x)=x^2=\sum_{s,t\in S}st\cdot \chi_s(x)\chi_t(x)$, 继而逐项构造周期函数即可.
不妨设 $1,\pi\in S$. 令
\[
\left\{\begin{aligned}
P_1(x)&=\sum_{s,t\in S\setminus \{1\}}st\cdot \chi_s(x)\chi_t(x),\\
P_2(x)&=\chi_1(x)\cdot \left(\chi_1(x)+2\pi\cdot \sum_{s\in S\setminus \{1,\pi\}}\chi_s(x)\right),\\
P_3(x)&=2\pi\cdot \chi_1(x)\chi_\pi(x).
\end{aligned}\right.
\]
其周期分别为 $1$, $\pi$, $e$.
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zhcosin
posted 2017-5-23 13:32
Czhang271828
posted 2023-3-17 00:06
