求最小值

lemondian

(1)若正数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=11$，求$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$的最小值。

另外，若正数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=t$，$(a^2+k)(b^2+k)(c^2+k),k\inN^*$是否有最小值。

kuing

(1) 注意到恒等式
\[(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2,\]（其推导见 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3449&rpid=1 ... &page=1#pid14235 的 4#）
代入条件得 `(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geqslant100`，当 `a+b+c=abc` 时取等，满足它和条件的 `(a,b,c)` 显然有无数组，目测出最简单的一组就是 `(1,2,3)`。

kuing

至于那个另外，作置换 `a\to\sqrt ka` 可转化为原题的所求式，条件变成 `ab+bc+ca=t/k`，但最后不一定能使得 `a+b+c=abc` 了，得满足 `t/k\geqslant9`，如果 `t/k<9`，变成求 `a+b+c-abc` 的最小值，看起来应该不难，待续……

lemondian

回复 2# kuing
嗯，谢谢@kuing!
我也做出来了，不知道这个恒等式，硬配的。
显然是在$abc=a+b+c$时取等，也易得其中一组为$(1,2,3)$,原来满足条件的有无数组解，我以为只有一组值，老想如何算出来的？

求教问题2：
若正数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=t$，$(a^2+k)(b^2+k)(c^2+k),k\inN^*$是否有最小值。
类似地：
$(a^2+k)(b^2+k)(c^2+k)=[abc-k(a+b+c)]^2+k(ab+bc+ca-k)^2$,
是不是可以得到：
$(a^2+k)(b^2+k)(c^2+k)\geqslant k(t-k)^2?$
这里的$t，k是不是要满足什么关系？$

lemondian

回复 3# kuing
刚发出才看到3#
请问：$t\geqslant 9k$如何整出来的？
期待另外$t< 9k$的情况

kuing

回复 5# lemondian

`abc=a+b+c` 意味着 `\frac1{ab}+\frac1{bc}+\frac1{ca}=1`，由 CS 知此时必有 `ab+bc+ca\geqslant9`，所以 <9 就取不到，而原题由于 =11，所以肯定有解而且无数。

facebooker

回复 6# kuing

非负实数$a,b,c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}=11$, 则$\left(a+b+c+2\right)^{2}\left(\frac{1}{a^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+3}\right)$ 的最大值为___

这个怎么办？

kuing

回复 7# facebooker

两题有啥联系吗？（除了都是 =11……

PS、最后一个 \$ 之前打多了一个 \

facebooker

回复 8# kuing


   就是都有一个11啦 大佬看看有没办法解决一下这题

hbghlyj

一道类似題

lemondian

回复 3# kuing
不知
3#的$t< 9k$的情况整出来了没？

kuing

回复 11# lemondian

q=ab+bc+ca
a+b+c>=√(3q)
abc<=(q/3)^(3/2)
所以……

lemondian

回复 12# kuing
看不明白啥意思

kuing

这不就是有 `a+b+c-abc\ge\sqrt{3q}-\sqrt{(q/3)^3}=\sqrt{3q}(1-q/9)`（当 `a=b=c` 取等） 吗？当 `q<9` 时那是正的，所以 `(a+b+c-abc)^2` 也是当 `a=b=c` 取最小值，即 `t<9k` 的情况的最小值就是 `(t/3+k)^3`。

lemondian

回复 14# kuing
终于看懂了，感谢@kuing

lemondian

回复 14# kuing
若正数$a,b,c$满足$a^mb^m+b^mc^m+c^ma^m=t,m\inR,k>0$，求$(a^{2m}+k)(b^{2m}+k)(c^{2m}+k)$的最小值。

这个的结论是不是与下面这个一样？@kuing

若正数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=t$，,k>0,求$(a^2+k)(b^2+k)(c^2+k)$的最小值。

kuing

回复 16# lemondian

明显等价的何必再写？

facebooker

hbghlyj 发表于 2021-4-21 20:29

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谢谢 $(x-1)^2(x-3)^2\geqslant 0\Rightarrow \dfrac{1}{x^2+3}\leqslant \dfrac{x^2-8x+19}{48}$

isee

(1) 注意到恒等式
\[(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2,\]（其推导见  的 4#）
代入条件 ...
kuing 发表于 2021-4-21 14:16

查了链接才知道以前见过，但完全忘记了，因为，我也思考过，发现可能需要三个数的和，三个数的积，和已知之间的联系

力工

勃大精深，要慢慢看！