求最小值

lemondian

回复 20# 力工
一个四元的：
已知$a,b,c,d\inR$，$ab+bc+cd+da+ac+bd-abcd=9$。求$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)$的最小值。
另外，9这个数要符合什么条件呢？

lemondian

回复 21# lemondian
最小值64？

lemondian

回复 22# lemondian
已知$a,b,c,d\inR^+,k>0$，且$ab+bc+cd+da+ac+bd-abcd=t$。求$(a^2+k)(b^2+k)(c^2+k)(d^2+k)$的最小值。

这个如何讨论$k,t$的关系？@kuing

facebooker

设$a,b,c∈R$.且$ab+bc+ca=11$.求
\[\sqrt{a^2+21}+\sqrt{2b^2+14}+\sqrt{c^2+91}\]

的最小值。

kuing

设$a,b,c∈R$.且$ab+bc+ca=11$.求
\[\sqrt{a^2+21}+\sqrt{2b^2+14}+\sqrt{c^2+91}\]的最小值。
facebooker 发表于 2021-5-1 22:43

这种一看就是凑好的数字，所以必须使用目测大法，直接去蒙就好了。

由前面的经验，满足 `ab+bc+ca=11` 里有一组好看的整数 `\{1,2,3\}`，于是大胆猜测最小值点就在这里面，当然顺序有六种，我们找个使最小值好看的，一看就看出是 `(a,b,c)=(2,1,3)`，因为这时三个根号下恰好都是完全平方，于是答案铁定是 `19`，接下来就是根据取等凑装逼过程。

解：由 CS 得
\begin{align*}
(4+21)(a^2+21)\geqslant(2\abs a+21)^2&\riff\sqrt{a^2+21}\geqslant\frac{2\abs a+21}5,\\
(2+14)(2b^2+14)\geqslant4(\abs b+7)^2&\riff\sqrt{2b^2+14}\geqslant\frac{\abs b+7}2,\\
(9+91)(c^2+91)\geqslant(3\abs c+91)^2&\riff\sqrt{c^2+91}\geqslant\frac{3\abs c+91}{10},
\end{align*}相加得
\[\sqrt{a^2+21}+\sqrt{2b^2+14}+\sqrt{c^2+91}\geqslant\frac{4\abs a+5\abs b+3\abs c+168}{10},\]由
\[(4a+5b+3c)^2-44(ab+bc+ca)=(a-2b)^2+\frac73(3b-c)^2+\frac53(2c-3a)^2,\]得到
\[\abs{4a+5b+3c}\geqslant22,\]所以
\[\frac{4\abs a+5\abs b+3\abs c+168}{10}\geqslant\frac{\abs{4a+5b+3c}+168}{10}\geqslant19,\]当 `(a,b,c)=(2,1,3)` 时取等，所以最小值就是 `19`。

lemondian

回复 23# lemondian

又见此题的四元形式：
Let $a, b, c, d$ be real numbers such that $a b+a c+a d+b c+b d+c d-a b c d=11$. Prove that
\[
(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1) \geq 100
\]
还是两个问题：
1.如何解决#23的问题？
2.这个问题是不是可以推广到n元呢？

Czhang271828

lemondian 发表于 2022-1-18 21:55
回复 23# lemondian

又见此题的四元形式：

$$
(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1) = (ab+ac+ad+bc+bd+cd-1-abcd)^2+(a+b+c+d-abc-abd-acd-bcd)^2.
$$
原理: $\prod (x_l^2+1)=\prod (x_l-i)\prod (x_l+i)=(P+iQ)\cdot (P-iQ)=P^2+Q^2$.