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回复 6# abababa
需要说明$\psi$的定义域问题. $\psi$函数可定义在$\mathbb C$上(实际上亚纯). 这里$\psi(x):=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log\Gamma(x)=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$. 下列举些许性质:
对恒等式$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$求导, 得$\Gamma'(x+1)=x\Gamma'(x)+\Gamma(x)$. 因此
$$
\dfrac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=\dfrac{x\Gamma'(x)}{x\Gamma(x)}+\dfrac{\Gamma(x)}{\Gamma(x+1)}=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}+\dfrac{1}{x}
$$
故$\psi(x+1)=\psi(x)+\dfrac{1}{x}$. 由于$\Gamma(x)$在$\mbox{Re}(x)\in(0,1]$时没有零点或极点, 因此$\psi(x)$不含零点或极点, 从而$\psi(x)$在$\mbox{Re}(x)>0$时良定义.
下面证明一般的$\psi(x)$展开表达.
$$
\psi (x+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right),\qquad x\neq -1,-2,-3,\ldots
$$
先由Weierstrass乘积式得到
$$
\Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}
$$
取对数得
$$
\log\Gamma(x)=-\gamma x-\log x+\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{x}{n}-\log\left(1+\dfrac{x}{n}\right)\right)
$$
两侧再关于$x$求导, $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\log\Gamma(x)=\dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=\psi(x)$. 因此
$$
\psi(x)=-\gamma-\dfrac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+x-1}\right)
$$
明所欲证.
***
再帮M补一下引用(查看图床需科学上网)：
1. 因子分解, 行船猫 *Cruise Cat*. 3'28''
2. 调和数, 飞天猫 *The Flying Cat*. 1'30''
3. 余元思想, 台球猫 *Cue Ball Cat*. 2'52''
4. 计算能力, 麻烦的诞生 *Hatch up your troubles*. 6'24'' |
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abababa
Posted at 2021-4-23 19:32:15
