圆中平行平行证线相等

乌贼

如图：
$ AB\px CD,BC\px AQ $。求证：$ AP=EP $

kuing

不妨设圆直径为 `1`，如上图，则有
\[\frac{PA}{PA+\sin x}=\frac{AQ}{BC}=\frac{AQ}{AD}=\frac{\sin y}{\sin(2x+y)},\]分母减分子得
\[\frac{AP}{\sin x}=\frac{\sin y}{\sin(2x+y)-\sin y},\]右边分母和差化积后得
\[AP=\frac{\sin y}{2\cos(x+y)},\]也就是
\[AP\cos\angle PAE=\frac{AE}2,\]这就说明了 `PA=PE`。

当 `P` 在另一边时（楼主的图的情形）同理可证，不再重复。

乌贼

又这招，管他呢，可以用上 forum.php?mod=viewthread&tid=8082&extra=page=1

isee

回复 3# 乌贼

那个IMO看来真是难~

乌贼

回复 4# isee
所以你那个三点一线，再说我只是证明线段相等思路，说不准证角为$ 180\du  $更简单

isee

回复 5# 乌贼

哈哈哈，其实我只是把题抄上来了，我没思考~

乌贼

如图：
$ M $为$ A $关于$ QP $的对称点，有\[ \angle QMB+\angle QEB=\angle QAB+\angle DCB=180\du  \]即$ QMBE $四点共圆，得\[ \angle ABQ=\angle MBQ=\angle QEM\riff \angle AEM=\angle APB \]$ N,F $分别为$ AM,AE $中点，有$ ANPF $四点共圆\[ \angle AFP=\angle ANP=90\du  \]所以\[ PA=PE \]

乌贼

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