如何证明$f(n)\geqslant cn^{3/2}$

APPSYZY

设\[f(n)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \sqrt{n} \right\rfloor}\sum_{j=i}^{\left\lfloor \sqrt{n-i^2} \right\rfloor}\sum_{k=j}^{\left\lfloor \sqrt{{(}n-i^2-{j}^2{)/}2} \right\rfloor}1,\]其中$n$为正整数. 求证：存在常数$c>0$，使得当$n$充分大时，有$f(n)\geqslant cn^{3/2}$.

APPSYZY

对于这样一个带有多个求和符号且值是离散的函数，我能想到的就是放缩，可是最终放缩过头了就容易得到0甚至一个恒负的表达式，这是显然成立的，但与题目要证明的结论相去甚远。

kuing

zhihu.com/question/493733418 这里也有人问，有个解答，看不懂。

APPSYZY

回复 3# kuing
奎因数学吧。。。
这条回答有几条评论，我觉得也挺有道理的，严谨证明估计还是得做更多的工作。
只是，这类问题不知能否通过放缩来证明呢？如果可以的话，会更初等些，也更加接近分析的本质。

hbghlyj

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原式变形可得
$$f(n)=\sum_{\substack{k\ge j\ge i\ge0\\i^2+j^2+2k^2\le n}}1$$
也就是求区域
$$D\subset\mathbb{R}^3:\left\{\begin{array}{l} x^2+y^2+2z^2\le n \\z\ge y\ge x\ge0 \end{array} \right.$$
内的整点个数。
由于区域形状是固定的，因此当 $n$ 足够大时会有 $f(n)\sim V(D) .$
而很显然 $V(D)\sim n^{3/2}$，因此有 $f(n)\sim n^{3/2}$，进一步的计算给出
$$\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n^{3/2}}=\frac{\arccos\frac{7}{9}}{12\sqrt2}=C$$
于是取 $c<C$ 即可。

hcccc 2021-10-21
三次封闭区域内的整点数和其体积成正比，应该需要某些性质，然后证明这个题目中的区域符合这个性质。反例有，一个很长条的长方体，无论它多长，都可以避开任何整点使得其内部整点数量为0，这时体积和内部整点数量不成正比。
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匿名用户 2021-10-21
形状固定的情况下变大就相当于用越来越小的网格来划分，这又是个凸集，想想就觉得应该成立[飙泪笑]虽然证起来可能有点麻烦
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hcccc 2021-10-21
这主要是为了严格证明n足够大时f(n)~V(D)，这种“显然”不知该如何转化成严格证明？

realnumber

直接在内部割一个长方体出来,取$\frac{\sqrt{n}}{6}\le x \le \frac{\sqrt{n}}{5}\le y \le \frac{\sqrt{n}}{4}\le z\le\frac{\sqrt{n}}{3}$

体积也是$O(n^{1.5})$,n足够大时,考虑这个长方体内的整点数,
整点数一个下界[$(\frac{\sqrt{n}}{5}-\frac{\sqrt{n}}{6}-2)(\frac{\sqrt{n}}{4}-\frac{\sqrt{n}}{5}-2)(\frac{\sqrt{n}}{3}-\frac{\sqrt{n}}{4}-2)$]>$\frac{n^{1.5}}{10^6}$也$O(n^{1.5})$,不妨就取$c=\frac{1}{10^6}$