如何计算 x²+y²+2z²≤a 和 0≤x≤y≤z 围成图形的体积？

APPSYZY

如何计算$x^2+y^2+2z^2\leqslant a$和$0\leqslant x\leqslant y\leqslant z$围成图形的体积？（其中$a>0$为常数）

kuing

一般方法不会，只好投个机，先计算：
`x^2+y^2+z^2\leqslant1` 且 `0\leqslant x\leqslant y\leqslant\frac1{\sqrt2}z` 的体积。

记：
平面 1：`x=0`；
平面 2：`y=x`；
平面 3：`z=\sqrt2y`；

显然：
平面 1、2 的夹角为 `45\du`；
平面 1、3 的夹角为 `90\du`；
平面 2、3 的夹角得算一算，平面 2 法向量 `\bm n_2=(-1,1,0)`，平面 3 法向量 `\bm n_3=(0,-\sqrt2,1)`，故夹角为
\[\arccos\frac{\abs{\bm n_2\cdot\bm n_3}}{\abs{\bm n_2}\cdot\abs{\bm n_3}}=\arccos\frac1{\sqrt3}.\]
于是，这三个平面在球 `x^2+y^2+z^2=1` 上截得的球面三角形面积为
\[S=\frac\pi4+\frac\pi2+\arccos\frac1{\sqrt3}-\pi=\arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4,\]而所求体积 `V` 满足 `V:V_{\text{球}}=S:S_{\text{球}}`，所以
\[V=\frac43\pi\cdot\frac{\arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4}{4\pi}=\frac13\left( \arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4 \right).\]

那么对于原题来讲，结论就是
\[V=\frac{a^{3/2}}{3\sqrt2}\left( \arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4 \right).\]

kuing

利用 Mathematica 验证上述结果，取 a=4，有：

code：

1. Integrate[Boole[x^2 + y^2 + 2 z^2 <= 4 && 0 <= x <= y <= z], {x, 0, 2}, {y, 0, 2}, {z, 0, 2}]
2. N[%]
3. a^(3/2)/(3 Sqrt[2]) (ArcCos[1/Sqrt[3]] - Pi/4) /. a -> 4 // N

复制代码

PS、MMA 并没继续化简 Pi - 6 ArcCot[Sqrt[2]] + ArcTan[2 Sqrt[2]]，用 FullSimplify 也不行，但是

1. Pi - 6 ArcCot[Sqrt[2]] + ArcTan[2 Sqrt[2]] == 4 ArcCos[1/Sqrt[3]] - Pi // FullSimplify

复制代码

又能得出 True。

isee

回复 2# kuing


我还以为要上三重积分，啧啧啧啧啧啧啧

APPSYZY

对原题而言，直接用Mathematica的Volume和ImplicitRegion是否可以得到\[V=\frac{a^{3/2}}{3\sqrt2}\left( \arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4 \right)\]呢？如果可以的话，相当于软件和证明互相验证了正确性，然而我并不会使用mma

kuing

回复 5# APPSYZY

我用的旧版 MMA 还没有这两个命令……

用 Boole 就好了，用以下命令：

1. Integrate[Boole[x^2 + y^2 + 2 z^2 <= a && 0 <= x <= y <= z], {x, 0, Sqrt[a]}, {y, 0, Sqrt[a]}, {z, 0, Sqrt[a]}, Assumptions -> a > 0]

复制代码

运行结果是
$\displaystyle\frac{a^{3/2} \left(\pi -6 \text{ArcCot}\left[\sqrt{2}\right]+\text{ArcTan}\left[2 \sqrt{2}\right]\right)}{12 \sqrt{2}}$
然后再

1. FullSimplify[Pi - 6 ArcCot[Sqrt[2]] + ArcTan[2 Sqrt[2]] - 4 (ArcCos[1/Sqrt[3]] - Pi/4)]

复制代码

运行结果为 0，说明 $\displaystyle\pi -6 \text{ArcCot}\left[\sqrt{2}\right]+\text{ArcTan}\left[2 \sqrt{2}\right] = 4\left(\text{ArcCos}\left[\frac{1}{\sqrt{3}}\right]-\frac{\pi }{4}\right)$，即验证通过。

kuing

回复 2# kuing

啊，其实还可以继续化简，由
\[\tan(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}x\riff\tan\left( \arccos\frac1{\sqrt3} \right)=\sqrt2,\]得到
\[\tan\left( \arccos\frac1{\sqrt3}-\frac\pi4 \right)=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=3-2\sqrt2,\]所以最终表达式可以化简为
\[V=\frac{a^{3/2}}{3\sqrt2}\arctan\bigl( 3-2\sqrt2 \bigr).\]

isee

又见到相关（邀请我的，汗~）：x²+y²+2z²≤n 和 0≤x≤y≤z 围成图形中的整点数和其体积有何数量关系？

kuing

回复 8# isee

我也是今天收到这个邀请，所以又看了下，忽然发现表达式还可以化简

isee

回复 9# kuing

我纯粹路过，不懂的太多了。



PS：哈哈，感觉像是套娃，一个链接到另一个链接，结果又回到论坛了

kuing

回复 10# isee

就本帖的求体积，你应该可以懂的。
首先我是将椭球拉伸为球，变成球面几何，求完后变回去即可。
约束条件就是三个平面围出来，三个平面都过球心，所以在球面上围出一个球面三角形，球面三角形的面积公式你知道吧？只需算三个角，也就是三个平面的夹角，这些其实都是基本东西。

PS、嗯，还有这个：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8270

TSC999

本人复制了 6# 楼的 mathetica 程序代码，但是在我的电脑上运行结果却与  6# 楼的不一样。不是表面形式不一样，是实质上不一样，6# 楼的结果是正确的，我的运行结果是错的，不知错误原因何在？

下面是 6# 楼的程序代码和运行结果：


下面是复制了 6# 楼的程序代码，在本人电脑上的运行结果：


为什么说本人的结果不对呢？因为将 a=4 代入上述两个表达式以后，数值分别是 0.320401 和  3.28232，前者正确、后者错。  

错误原因在哪里？

kuing

回复 12# TSC999

那我就不知道了，软件内部怎么算的我也不了解……
我用的是 Mathematica7，改天用别的版本试试……

`\arctan\frac{4\sqrt2}7=\pi-2\arctan(2\sqrt2)`
将分子的 7Pi 改为 3Pi 就一样了……

如果不用 a 直接写 4，结果如何？
或者改用 NIntegrate 试试看？

TSC999

回复  TSC999

那我就不知道了，软件内部怎么算的我也不了解……
我用的是 Mathematica7，改天用别的版本 ...
kuing 发表于 2021-11-19 18:01

如果不用 a 直接写 4，结果正确。

TSC999

我用的是 Mathematica 9.

积分一是椭球体的八分之一。积分二是在积分一区域挖去了许多矿以后剩余的部分。
积分二的另一个具体数值不正确，它是先不给 a 赋值，算出字符表达式以后再令 a = 4。这样不行(mathematica 9 版本)，但是用 mathematica 7 版本就可以？

kuing

回复 15# TSC999

我用另一台装了 Mathematica 11.2 的电脑上又运行了 6# 的代码，结果是：

又是另一个不同的形式还好这次只是表面不同，实质是一样的，用

1. FullSimplify[(12 Pi - 50 ArcCot[Sqrt[2]] - ArcTan[(13870 Sqrt[2])/1633])/(96 Sqrt[2]) == (ArcCos[1/Sqrt[3]] - Pi/4)/(3 Sqrt[2])]

复制代码

输出 True。

hbghlyj

$x^2+y^2+2z^2\leqslant a$和$0\leqslant x\leqslant y\leqslant z$围成图形
HTML format  操作视图, 见此帖
import three;import graph3;unitsize(4cm,4cm,4cm/sqrt(2));settings.render=2;
draw(O--X,Arrow3(6),L=Label("$x$",EndPoint,X));
draw(O--1.5Y,Arrow3(6),L=Label("$y$",EndPoint,Y));
draw(O--1.5Z,Arrow3(6),L=Label("$z$",EndPoint,Z));
real[][] T=zscale3(1/sqrt(2));
triple f(pair t){return (Sin(t.x)*Cos(t.y),Sin(t.x)*Sin(t.y),Cos(t.x));}
defaultpen(paleyellow);
draw(surface(f,(0,45),(45,90)));
draw(rotate(-aCos(1/sqrt(3)),(1,-1,0))*surface(new triple (pair t){return (Sin(t.x)*Cos(t.y),Sin(t.x)*Sin(t.y),Cos(t.x));},(0,-135),(aSin(1/sqrt(3)),-195)));
draw(surface((0,0,0),(0,0,0)--Z,X,1,-45,0));
draw(surface((0,0,0),(0,0,0)--(Y+Z)/sqrt(2),Y-Z,1,0,aSin(1/sqrt(3))));
draw(surface((0,0,0),(0,0,0)--Z,X-Y,1,-aCos(1/sqrt(3)),0));