三元不等式

lemondian

已知正数$a,b,c$，求证：$(\dfrac{a+b}{c})^2+(\dfrac{b+c}{a})^2+(\dfrac{c+a}{b})^2\geqslant \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+9$

kuing

这不等式也太弱……

首先可以直接用 `(a+b)^2\ge4ab` 放一下，只需证
\[4\sum\frac{ab}{c^2}\ge\sum\frac ab+9,\]
还不止，由 `\sum\frac{ab}{c^2}\ge3`，只需证
\[\sum\frac{ab}{c^2}\ge\sum\frac ab,\]
也就是
\[\sum\frac1{c^3}\ge\sum\frac1{b^2c},\]
依然是那么的显然。

lemondian

回复 2# kuing
我也证出来了，用均值即可

走走看看

回复 3# lemondian

这道题用均值也可，但不太好写。

我来练练代码：

\begin{align*}
&(\frac{a+b}{c})^2+(\frac{b+c}{a})^2+(\frac{c+a}{b})^2\\
&\ge\frac 39(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})^2\\
&=\frac 13(\frac ab+\frac bc+\frac ca+\frac cb+\frac ba+\frac ac)^2\\
&\ge\frac 13(\frac ab+\frac bc+\frac ca+3)^2\\
&\ge\frac 13(\frac ab+\frac bc+\frac ca)^2+2(\frac ab+\frac bc+\frac ca)+3\\
&\ge\frac 13×3^2+3+(\frac ab+\frac bc+\frac ca)+3\\
&=\frac ab+\frac bc+\frac ca+9\\

\end{align*}

当且仅当 $\frac{c}{b}=\frac{b}{a}=\frac{a}{c}$且$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$，即a=b=c时取等。

isee

回复 4# 走走看看

大于等于 \geq 或 \ge
1/3 需要那么多{}，\frac 13 注意 空格不能省，置顶帖里有细节

lemondian

这个怎么来的？

走走看看

回复 6# lemondian


$(\frac{a+b}{c})^2-4\frac{a+b}{c}+4\ge0$

拆成3个完全平方式的和。

lemondian

回复 7# 走走看看

kuing

回复  走走看看

大于等于 \geq 或 \ge
1/3 需要那么多{}，\frac 13 注意 空格不能省，里有细节 ...
isee 发表于 2022-3-31 09:59

\frac 13 可以省空格啊，跟字母才不能省。

isee

回复 9# kuing


还真没注意到了

走走看看

回复 2# kuing

$x^3+y^3+z^3\ge x^2y+y^2z+z^2x$ 这个不等式很难证啊，想了半天没有找到证明办法。

isee

回复 11# 走走看看


其一种方法，1＃靠结尾，forum.php?mod=viewthread&tid=8210

kuing

回复 11# 走走看看

直接排序不等式啊，还用证吗

isee

回复 13# kuing

肯定是没看到哪两组数组，哈哈哈哈
其次，多有意思，链接哪帖是为了不用排序不等式

走走看看

谢谢两位！

这么说来，既可以用排序不等式，也可以用基本不等式。