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本帖最后由 hbghlyj 于 2024-3-31 12:34 编辑 类似地,考虑保持双曲线的线性变换$f$,则$f$保持单位双曲线$x^2-y^2=1$,设其矩阵为$\pmatrix{a&b\\c&d}$,因为$f(1,0),f(0,1)$在双曲线上,所以$a^2-c^2=b^2-d^2=1$,设$a=\coshθ,c=\sinhθ,$因为双曲线的两条渐近线不变,所以只能是下面两种情况:
①$f$保持两条渐近线
$(1,1),(1,-1)$是$f$的特征向量.
$\pmatrix{a&b\\c&d}\pmatrix{1\\1}=λ_1\pmatrix{a+b\\c+d}$
$\pmatrix{a&b\\c&d}\pmatrix{1\\-1}=λ_2\pmatrix{a-b\\c-d}$
所以$a+b=c+d,a-b=-(c-d)$,所以$a=d,b=c$,所以$f$的矩阵为$\pmatrix{\coshθ&\sinhθ\\\sinhθ&\coshθ}$
②$f$交换两条渐近线
因为关于$x$轴的反射可以交换两条渐近线,所以$f$的矩阵为$\pmatrix{1&0\\0&-1}\pmatrix{\coshθ&\sinhθ\\\sinhθ&\coshθ}\pmatrix{1&0\\0&-1}=\pmatrix{\coshθ&-\sinhθ\\-\sinhθ&\coshθ}$
注:
$f$依然满足$ad-bc=±1$.(但不能用“$f$把双曲线内部映射为自身”这件事来导出$\det f=±1$,因为双曲线内部的面积为∞)
两种情况下,$f$分别把双曲线上的点$(\cosh t,\sinh t)$映射为$(\cosh(t+θ),\sinh(t+θ))$和$(\cosh(θ-t),\sinh(θ-t))$
参考:
洛伦兹变换#洛伦兹变换的几何理解 – 维基百科
洛伦兹变换为${\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}$
在平面几何，一个向量在某座标系统为$(x,y)$。如果我們在原点以$\theta$顺时针旋转原本座标轴做新的座标系统。在新系统内，同一向量座标为$(x^{\prime},y^{\prime})$：
$$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$
当然雖然向量的座标在不同座标系统里面不一样，它的長度不变：$(x^\prime)^2+(y^\prime)^2=(x)^2+(y)^2$。
另外如果我們以另外角度$\phi$再旋转一次，那向量新座标和原座标关系为：
$$\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}\\y^{\prime\prime}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cos(\theta+\phi) & \sin(\theta+\phi) \\
-\sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$
即：''连续的转角可加''。
我們可以相似般把洛伦兹变换看成一种类似的座标旋转。定義快度$w=\text{arctanh}\beta$。那以上洛伦兹变换公式可以写成（略去不受影响的$x^2$和$x^3$）：
$$\begin{bmatrix}x^\prime{}^0\\ x^\prime{}^1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cosh w & -\sinh w\\
-\sinh w & \cosh w\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}$$
也就是說：''洛倫兹變換數學上等同於雙曲角旋轉''。此座标“旋转”中类似“長度”的不变量是：
$$(x^\prime{}^0)^2-(x^\prime{}^1)^2=(x^0)^2-(x^1)^2$$。
如果我們先转换到相对原本參考系统速度为$\beta_{21}$的參考系统，然后再转换到相对第二個參考系统速度为$\beta_{32}$的參考系统。令$w_{21}=\text{arctanh}\beta_{21}$、$w_{32}=\text{arctanh}\beta_{32}$。那么在原本參考系统座标为$(x^0,x^1)$的事件在两次转换后參考系统内座标$(x^{\prime\prime}{}^0,x^{\prime\prime}{}^1)$为：
$$\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}{}^0\\ x^{\prime\prime}{}^1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cosh (w_{21} + w_{32}) & -\sinh (w_{21} + w_{32})\\
-\sinh (w_{21} + w_{32}) & \cosh (w_{21} + w_{32})\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}$$
所以我们发现洛伦兹变换里直接相加的数量不是速度$\beta$而是这个类似角度的$w=\text{arctanh}\beta$。日常经验我們使用的伽利略變換把速度直接相加减。这是因为在速度遠小於光速（$\beta\ll 1$）的时候$w$近似速度$w\simeq \beta$。
当然我们也可以直接从原本的參考系统直接转换到最后的參考系统。如果两者速度为$\beta_{31}$，那么
$$\begin{align}
w_{31} &= w_{21} + w_{32} \\
\tanh w_{31} &= \tanh (w_{21} + w_{32}) = \frac{\tanh w_{21} + \tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21} \tanh w_{32}} \\
\beta_{31} &= \frac{\beta_{21} + \beta_{32}}{1+\beta_{21} \beta_{32}}
\end{align}$$
因此得到相對论速率加法公式。
双曲旋转 – 百度百科
百度百科的参考资料是（俄）杰洛涅编著；刘培杰数学工作室译．世界著名解析几何经典著作钩沉 平面解析几何卷：哈尔滨工业大学出版社，2014.01：第110页
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