保持给定的二次曲线的仿射变换

hbghlyj

仿射变换保持圆锥曲线的中心,所以可以把曲线中心取为原点,考虑保持曲线不变的线性变换.
先考虑保持圆的线性变换$f$,则$f$保持单位圆,设其矩阵为$\pmatrix{a&b\\c&d}$,因为$f$把圆的内部映射为自身,所以$f$保持面积,所以$ad-bc=±1$,因为$f(0,1),f(1,0)$在圆上,所以$a^2+c^2=b^2+d^2=1$,设$(a,c)=(\cosθ,\sinθ),(b,d)=(\cosφ,\sinφ)$,则$\cosθ\sinφ-\sinθ\cosφ=±1⇒$$\sin(θ-φ)=±1⇒θ-φ=±\fracπ2$,所以只能是两种情况$\left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
- \sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right)$和$\left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & - \cos \theta
\end{array}
\right)$.
注:两种情况下,$f$分别把圆上的点$(\cos t,\sin t)$映射为$(\cos(t+θ),\sin(t+θ))$和$(\cos(θ-t),\sin(θ-t))$


再考虑保持椭圆的线性变换,设椭圆经过线性变换$g$变为圆,经过线性变换$f$不变,然后经过$g^{-1}$回到椭圆.所以保持椭圆不变的线性变换是$g^{-1}fg$.
例如,保持椭圆$\mathbf x^\intercal\pmatrix{1&0\\0&2}\mathbf x=0$不变的线性变换只能是以下两种情况:
$$\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{ \sqrt 2}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
- \sin \theta & \cos \theta
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \sqrt 2
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta &  \sqrt 2 \; \sin \theta  \\
  - \frac{\sin \theta}{\sqrt 2} & \cos \theta
\end{array}
\right)$$
$$\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \frac{1}{ \sqrt 2}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & - \cos \theta
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \sqrt 2
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
\cos \theta &  \sqrt 2 \; \sin \theta  \\
   \frac{\sin \theta}{\sqrt 2} & - \cos \theta
\end{array}
\right)$$

参考:math.stackexchange.com/questions/2785661/given-a-conic-mathscrc- ... some/2785739#2785739

hbghlyj

类似地,考虑保持双曲线的线性变换$f$,则$f$保持单位双曲线$x^2-y^2=1$,设其矩阵为$\pmatrix{a&b\\c&d}$,因为$f(1,0),f(0,1)$在双曲线上,所以$a^2-c^2=b^2-d^2=1$,设$a=\coshθ,c=\sinhθ,$因为双曲线的两条渐近线不变,所以只能是下面两种情况:
①$f$保持两条渐近线
$(1,1),(1,-1)$是$f$的特征向量.
$\pmatrix{a&b\\c&d}\pmatrix{1\\1}=λ_1\pmatrix{a+b\\c+d}$
$\pmatrix{a&b\\c&d}\pmatrix{1\\-1}=λ_2\pmatrix{a-b\\c-d}$
所以$a+b=c+d,a-b=-(c-d)$,所以$a=d,b=c$,所以$f$的矩阵为$\pmatrix{\coshθ&\sinhθ\\\sinhθ&\coshθ}$
②$f$交换两条渐近线
因为关于$x$轴的反射可以交换两条渐近线,所以$f$的矩阵为$\pmatrix{1&0\\0&-1}\pmatrix{\coshθ&\sinhθ\\\sinhθ&\coshθ}\pmatrix{1&0\\0&-1}=\pmatrix{\coshθ&-\sinhθ\\-\sinhθ&\coshθ}$

注:
$f$依然满足$ad-bc=±1$.(但不能用“$f$把双曲线内部映射为自身”这件事来导出$\det f=±1$,因为双曲线内部的面积为∞)
两种情况下,$f$分别把双曲线上的点$(\cosh t,\sinh t)$映射为$(\cosh(t+θ),\sinh(t+θ))$和$(\cosh(θ-t),\sinh(θ-t))$

参考:
洛伦兹变换#洛伦兹变换的几何理解 – 维基百科
洛伦兹变换为${\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}$

在平面几何，一个向量在某座标系统为$(x,y)$。如果我們在原点以$\theta$顺时针旋转原本座标轴做新的座标系统。在新系统内，同一向量座标为$(x^{\prime},y^{\prime})$：
$$\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$

当然雖然向量的座标在不同座标系统里面不一样，它的長度不变：$(x^\prime)^2+(y^\prime)^2=(x)^2+(y)^2$。
另外如果我們以另外角度$\phi$再旋转一次，那向量新座标和原座标关系为：
$$\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}\\y^{\prime\prime}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cos(\theta+\phi) & \sin(\theta+\phi) \\
-\sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$$
即：''连续的转角可加''。

我們可以相似般把洛伦兹变换看成一种类似的座标旋转。定義快度$w=\text{arctanh}\beta$。那以上洛伦兹变换公式可以写成（略去不受影响的$x^2$和$x^3$）：
$$\begin{bmatrix}x^\prime{}^0\\ x^\prime{}^1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cosh w & -\sinh w\\
-\sinh w & \cosh w\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}$$
也就是說：''洛倫兹變換數學上等同於雙曲角旋轉''。此座标“旋转”中类似“長度”的不变量是：
$$(x^\prime{}^0)^2-(x^\prime{}^1)^2=(x^0)^2-(x^1)^2$$。

如果我們先转换到相对原本參考系统速度为$\beta_{21}$的參考系统，然后再转换到相对第二個參考系统速度为$\beta_{32}$的參考系统。令$w_{21}=\text{arctanh}\beta_{21}$、$w_{32}=\text{arctanh}\beta_{32}$。那么在原本參考系统座标为$(x^0,x^1)$的事件在两次转换后參考系统内座标$(x^{\prime\prime}{}^0,x^{\prime\prime}{}^1)$为：
$$\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}{}^0\\ x^{\prime\prime}{}^1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cosh (w_{21} + w_{32}) & -\sinh (w_{21} + w_{32})\\
-\sinh (w_{21} + w_{32}) & \cosh (w_{21} + w_{32})\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}$$
所以我们发现洛伦兹变换里直接相加的数量不是速度$\beta$而是这个类似角度的$w=\text{arctanh}\beta$。日常经验我們使用的伽利略變換把速度直接相加减。这是因为在速度遠小於光速（$\beta\ll 1$）的时候$w$近似速度$w\simeq \beta$。

当然我们也可以直接从原本的參考系统直接转换到最后的參考系统。如果两者速度为$\beta_{31}$，那么

$$\begin{align}
w_{31} &= w_{21} + w_{32} \\
\tanh w_{31} &= \tanh (w_{21} + w_{32}) = \frac{\tanh w_{21} + \tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21} \tanh w_{32}} \\
\beta_{31} &= \frac{\beta_{21} + \beta_{32}}{1+\beta_{21} \beta_{32}}
\end{align}$$
因此得到相對论速率加法公式。

双曲旋转 – 百度百科
百度百科的参考资料是（俄）杰洛涅编著；刘培杰数学工作室译．世界著名解析几何经典著作钩沉 平面解析几何卷：哈尔滨工业大学出版社，2014.01：第110页

hbghlyj

无法用2#的方法处理椭圆:$f$不一定保持椭圆的两条轴

hbghlyj

最后,考虑保持抛物线的仿射变换$f$[抛物线没有中心,无法确定仿射$f$的不动点,故无法沿用上面的坐标系]
抛物线$y^2=xz$的矩阵为$$C=\begin{pmatrix}0&0&-\frac12\\0&1&0\\-\frac12&0&0\end{pmatrix}.$$经过仿射变换$f$后,得到的矩阵是$C$的非零常数倍,所以$f$的矩阵$A$满足$(A^{\intercal})^{-1}CA^{-1}=kC$
设$A=\left(
\begin{array}{ccc}
u & v & m \\
p & q & n \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)$,由$\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -\frac{1}{2} \\
0 & 1 & 0 \\
-\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)^{-1}.A^\intercal.\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -\frac{1}{2} \\
0 & 1 & 0 \\
-\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
\end{array}
\right).A=kI$得
$\left\{\begin{array}{l}
-k-2 n p+u=0 \\
-2 n q+v=0 \\
2 m-2 n^2=0 \\
p q=0 \\
-k+q^2=0 \\
n q-\frac{v}{2}=0 \\
-2 p^2=0 \\
-2 p q=0 \\
-k-2 n p+u=0 \\
\end{array}\right.$
所以$p=0$,方程组变成
$\left\{\begin{array}{l}
-k+u=0 \\
-2 n q+v=0 \\
2 m-2 n^2=0 \\
-k+q^2=0 \\
n q-\frac{v}{2}=0 \\
\end{array}\right.$
所以$k=u$,方程组变成
$\left\{\begin{array}{l}
-2 n q+v=0 \\
2 m-2 n^2=0 \\
-u+q^2=0
\end{array}\right.$
即
$\left\{\begin{array}{l}
v=2 n q \\
  m=n^2 \\
u=q^2
\end{array}\right.$
所以
$A=\left(
\begin{array}{ccc}
q^2 & 2nq & n^2 \\
0 & q & n \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)$

特征向量	特征值
$\begin{pmatrix} n^2 \\ -n (q-1) \\ (q-1)^2 \\ \end{pmatrix}$	1
$\begin{pmatrix} -2 n \\ q-1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$	$q$
$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$	$q^2$

验证:我们有恒等式$$(q y+n)^2-\left(q^2 x+2 n q y+n^2\right)=q^2 \left(y^2-x\right)$$
所以,仿射变换$$f:\begin{cases}x'=q^2 x+2 n q y+n^2\\y'=q y+n\end{cases}\qquad q≠0$$保持抛物线$x=y^2$不变.
$f$的不动点$(a^2,a),a=-\frac{n}{q-1}$在抛物线上.
三条不变的直线：无穷远线（因为$f$是仿射变换），过点$(a^2,a)$的切线，以及平行于抛物线轴的通过点$(a^2,a)$的线。