求最大值$x+\sqrt{y}+\sqrt[3]{z}$

realnumber

已知:$x,y,z\in R^+,x+y+z=1$,求$x+\sqrt{y}+\sqrt[3]{z}$的最大值.

战巡

\[x+\sqrt{y}+\sqrt[3]{z}=1-y+\sqrt{y}-z+\sqrt[3]{z}\]
其中
\[-y+\sqrt{y}\le \frac{1}{4}\]
$y=\frac{1}{4}$时取等
\[-z+\sqrt[3]{z}\le \frac{2}{3\sqrt{3}}\]
$z=\frac{1}{3\sqrt{3}}$时取等
于是
\[x+\sqrt{y}+\sqrt[3]{z}\le \frac{5}{4}+\frac{2}{3\sqrt{3}}\]
在$x=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3\sqrt{3}}, y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{3\sqrt{3}}$时取等

kuing

`\sqrt y\le y+\dfrac14`

`\sqrt[3]z\le z+\dfrac1{\sqrt{27}}+\dfrac1{\sqrt{27}}`