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本帖最后由 hbghlyj 于 2023-6-5 23:51 编辑 知乎 – 双曲函数中的osborn's rule怎么证？
Wikipedia – Hyperbolic functions – Useful relations
Mathworld – Osborn's rule
将三角恒等式转换为双曲函数的类似恒等式: 首先完全展开、将三角函数换成相应的双曲函数，然后反转所有“ 2 个双曲正弦之积”的符号。例如，给定三角函数恒等式
\[\cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\]
Osborn 法则给出了相应的恒等式
\[\cosh(x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y.\]
对于每个含有 $m$ 个双曲正弦之积的项, 若$m=4n-2(n=1,2,\cdots)$, 则有奇数个“ 2 个双曲正弦之积”的符号被反转, 结果是整个项的符号反转; 对于其它情况, $m=4n,4n-1,4n-3(n=1,2,\cdots)$, 则有偶数个(可能0个)“ 2 个双曲正弦之积”的符号被反转, 结果是整个项的符号不变. 例如, 给定三角函数恒等式
\[\cos(4x)=\sin ^4(x)+\cos ^4(x)-6 \sin ^2(x) \cos ^2(x),\]
因为$\sin^4(x)=\sin^2(x)\sin^2(x)$, 每个$\sin^2(x)$符号反转, 结果是整个项不变号. 得到相应的双曲函数恒等式:
\[\cosh(4x)=\sinh^4(x)+\cosh^4(x)+6 \sinh^2(x) \cosh^2(x).\]
例子
\begin{align*}
\tanh(\theta+\phi) &= \frac{\tanh\theta+\tanh\phi}{1+\tanh\theta\tanh\phi}\; ; \\[4pt]
\sinh3\theta &= 3\sinh\theta + 4\sinh3\theta\; ; \\[4pt]
\cosh\theta-\cosh\phi &= +2\sinh\frac{\theta+\phi}{2}\sinh\frac{\theta-\phi}{2}\; ;
\end{align*}
Wick rotation |
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