圆周角定理的推广 双曲线扇形

hbghlyj

Inscribed angles for hyperbolas y = a/(x − b) + c and the 3-point-form

$P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4$為雙曲線$xy=1$上的四點，則${\displaystyle {\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$

本身是容易的。
但我想探索它與kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=7300的關係。

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按Hyperbolic functions把$xy=1$参数化为$(e^t,e^{-t})$
$A_1(e^{t_1},e^{-t_1}),A_2(e^{t_2},e^{-t_2}),A_3(e^{t_3},e^{-t_3})$
直線$A_1A_2$的斜率$\frac{e^{t_1} - e^{t_2}}{e^{-t_1} - e^{-t_2}} =-e^{t_1 + t_2}$
角$A_1,A_2,A_3$定義為直線$A_1A_3$的斜率、直线$A_2A_3$的斜率之比：$\frac{-e^{t_1 + t_3}}{-e^{t_2 + t_3}}=e^{t_1-t_2}$
所以角$A_1,A_2,A_3$和$t_3$無關！

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$\dfrac{k_{AO}}{k_{BO}}=\dfrac{k_{CO}}{k_{DO}}\Leftrightarrow S(\text{扇形}AOB)=S(\text{扇形}COD)$

$\dfrac{k_{AO}}{k_{BO}}=\dfrac{k_{CO}}{k_{DO}}\Leftrightarrow e^{2(t_A-t_B)}=e^{2(t_C-t_D)}\Leftrightarrow t_A-t_B=t_C-t_D\Leftrightarrow S(\text{扇形}AOB)=S(\text{扇形}COD)$

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$(r\cos(t),r\sin(t))\mapsto(r\cosh(t),r\sinh(t))$是等积变换
保持任何区域的面积不变。
例如$$\{(r\cos(t),r\sin(t)):0\le r\le1,-\pi\le t\le \pi\}$$变到$$\{(r\cosh(t),r\sinh(t)):0\le r\le1,-\pi\le t\le \pi\}$$即单位圆的內部变到单位双曲线一支$x=\sqrt{1+y^2}$和 $y=\pm\tanh(\pi) x$之间的区域，是面积相等的：

In[]:= RegionMeasure[{r Cosh[t],r Sinh[t]},{{r,0,1},{t,-π,π}}]
Out[]= π