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感觉是对的，但我假设了$c_n$里只有有限个非实数（红色部分）。因为$f$是整函数，所以能写成幂级数的形式
\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\]
设$c_n$中只有$c_{k_1},c_{k_2},\cdots$不是实数，再设$b_i=c_{k_i}$，再设$b_i$的虚部为$a_i$。最后将$c_n$中是实数的那些，以及$b_i$的实部一起记为$p_n$，则有
\[f(z)=\sum_{n}p_nz^n+i\sum_{k}a_kz^k\]
其中$p_n,a_k$都是实数。因为当$x\in\mathbb{Z}^+$时$f(x)$是实数，代入比较两边可知，对任意的$x\in\mathbb{Z}^+$都有$\sum_{k}a_kx^k=0$，假设$k$是有限的，再假设$a_k$不全为零，则这是一个$k$次方程，至多有$k$个根，但现在所有的正整数都是根，矛盾，所以$a_k$全为零。而
\[\sum_{n}p_n\bar{z}^n=\overline{\sum_{n}p_nz^n}\]
所以
\[f(\bar{z})=\sum_{n}p_n\bar{z}^n+\sum_{k}a_kz^k=\overline{\sum_{n}p_nz^n}+0=\overline{f(z)}\] |
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abababa
发表于 2022-12-28 18:02
