求证不等式成立

人间风雪客

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kuing

熟知以下两式
\begin{align*}
\sin A+\sin B+\sin C&\leqslant\frac{3\sqrt3}2,\\
\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C&\leqslant\frac94,
\end{align*}
（后者参见 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=4942&pid=23439）
当 `x>0` 时有
\[\frac{x^2}{1+x}-\bigl(2-\sqrt3\bigr)^2(3x+4x^2)=-\frac{\bigl(2-\sqrt3\bigr)^2x\bigl(2x-\sqrt3\bigr)^2}{1+x}\leqslant0,\]
所以
\begin{align*}
\sum\frac{\sin^2A}{1+\sin A}&\leqslant\bigl(2-\sqrt3\bigr)^2\left(3\sum\sin A+4\sum\sin^2A\right)\\
&\leqslant\bigl(2-\sqrt3\bigr)^2\left(\frac{9\sqrt3}2+9\right)\\
&=\frac92\bigl(2-\sqrt3\bigr).
\end{align*}

kuing

hbghlyj 发表于 2022-12-31 20:05
2#链接似乎有点问题
...

哦，多谢提醒，已修改。（我在用草稿本处理代码的 & 时没注意链接里也有 & 就把链接也给改了😅

人间风雪客

kuing 发表于 2022-12-31 22:04
哦，多谢提醒，已修改。（我在用草稿本处理代码的 & 时没注意链接里也有 & 就把链接也给改了😅 ...

老大，链接还是有问题

人间风雪客

可能是我浏览器的问题，手机上能正常打开

kuing

刚在 zhihu.com/question/617121310 又出现了这题，一样拍摄画面（本帖稍裁剪），我把 2# 的贴了过去。