平行四边形求证锐角等于π/4

hbghlyj

在平行四边形 $ABCD$ 中（见图 1.7），如果\[AC^2\cdot BD^2=AB^4+AD^4,\]那么这个平行四边形的锐角等于$\frac\pi4$.

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设$A=0,B=1,D=z,0<\arg z<\fracπ2$
则$\abs{z+1}^2\abs{z-1}^2=1+\abs{z}^4$
即$z^2\bar z^2+1-(z^2+\bar z^2)=1+z^2\bar z^2$
即$z^2=-\bar z^2$
故$\arg z=\fracπ4$