设 $p ≥ 3$ 素数，且 $p ≡ 1\pmod 4$, 若 $F_n$ 为斐波那契数列的第 $n$ 项，即 $F_0 = 0, F_1 =1, F_2 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$, 求证：$$\sum_{k=0}^{p-1}\left(\begin{array}{c}2 k \\ k\end{array}\right)^2 \frac{F_{k}}{16^{k}} \equiv 0 \quad\pmod{p^2}$$
Mathematica
In[]:= Function[p,Divisible[Sum[Binomial[2k,k]^2Fibonacci[k]PowerMod[16,-k,p^2],{k,0,p-1}],p^2]]/@{5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101}
Out[]= {True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True,True}
来源：西西数学竞赛群 2018 跨年试题精选 第9题 |
