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$\DeclareMathOperator{\Im}{Im}V$是有限维线性空间, $T\in\operatorname{Hom}(V,V)$, $\ker T∩\Im T=\{0\}$. 求证$V=\ker T⊕\Im T$.
我把这个证明重新写下:
设$m(x)$为$T$的极小多项式.
由 $\ker T∩\Im T=\{0\}$ 和2#知$x^2∤m(x)$. 设$q(x)=\frac{m(x)}{\gcd(x,m(x))}$, 则$\gcd(x,q(x))=1$.
因为$\gcd(x,m(x))∣x$, 所以$m(x)∣xq(x)$, 所以$Tq(T)=0_V$, 即$\ker Tq(T)=V$.
使用Proposition 5.1.[若$f(x) = a(x)b(x),\gcd(a, b)=1$, 则$\ker f(T) = \ker a(T) ⊕ \ker b(T)$]得$$V=\ker T⊕\ker q(T)$$
只剩证明$\Im T=\ker q(T)$.
设$v∈\Im T$, 则$v=Tw$, 则$q(T)v=q(T)(Tw)=(Tq(T))w=0$, 所以$\Im T⊂\ker q(T)$
设$v∈\ker q(T)$, 则$q(T)v=0$. 因为$x∤q(x)$, 设$q(x)=q_1(x)x+r$, $r\ne0$, 则$q_1(T)Tv+rv=0$, 所以$v=T\left(\frac{-q_1(T)}rv\right)∈\Im T$, 所以$\ker q(T)⊂\Im T$.
$\dim V=\infty$时, $T$可能没有极小多项式, 命题不成立:
Consider the shift operator $s$, defined on $\text{Vect}(e_i, i\in\mathbb{N})$, where $s(e_n)=e_{n+1}$ for $n\in\mathbb{N}$. Note that $\ker(s)=0$ but $s$ is not surjective. |
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