[考古] 海伦公式

hbghlyj

Vignettes of Ancient Mathematics
Hero of Alexandria, Metrica, Prop. 8: a general procedure for finding areas of triangles without finding the altitude.

三角形ABΓ的内切圆H在各边上的切点为 E, Z, Δ.
延长ΓB到Θ使ΒΘ = ΑΔ, 则2ΘΓ=AB+BΓ+ΓA, 则ABΓ的面积等于ΗΕ · ΘΓ.
过H作HΓ垂线, 过B作BΓ垂线, 交于Λ.
HΛ与BΓ交于K.
因为BΓΛH共圆, 所以∠BΛΓ=180°-∠BHΓ=∠AHΔ, 所以直角三角形 ΑΗΔ 与 ΓΒΛ 相似. 剩下的就是导比例:
ΒΓ : ΒΛ = ΑΔ : ΔΗ (因为 ΑΗΔ 与 ΓΒΛ 相似)
           = ΒΘ : ΕΗ (因为 ΒΘ = ΑΔ 和 ΕΗ = ΔΗ)
ΒΓ : ΒΘ = ΒΛ : ΕΗ (移项)
            = ΒΚ : ΚΕ (因为 ΕΚΗ 与 ΒΚΛ 相似)
ΘΓ : ΒΘ = ΒΕ : ΚΕ (两边分数加1)
ΘΓ² : ΒΘ·ΘΓ = ΒΕ·ΕΓ : ΓΕ·ΕΚ (分子分母同乘ΘΓ和ΓΕ)
代入 ΕΗ² = ΓΕ·ΕΚ (因为直角三角形 ΚΕΗ ∼ ΚΗΓ ∼ ΗΕΓ)得
ΘΓ² : ΒΘ·ΘΓ = ΒΕ·ΕΓ : ΕΗ²
ΘΓ² · ΕΗ² = ΒΘ·ΘΓ · ΒΕ·ΕΓ (变为乘积式)
$\rm ΑΒΓ的面积 = \sqrt{ΗΕ^2 · ΘΓ^2} = \sqrt{ΒΘ·ΘΓ·ΒΕ·ΕΓ}$
ΒΘ = 1/2 perimeter - ΓΒ
ΘΓ = 1/2 perimeter
ΒΕ = 1/2 perimeter - ΑΓ
ΕΓ = 1/2 perimeter - ΑΒ
海伦公式证毕.