一个简单图形中蕴含的正切关系

aishuxue

AB 为圆 O 的直径，C 在 AB 的延长线上，满足 $BC=OB$，
过点 $C$ 作直线交圆 $O$ 于 $M, N$ 两点，其中 $N$ 在 $M, C$ 之间，$P$ 为弧 $AB$ 的中点，记 $\angle OPM=\alpha, \angle OPN=\beta$，
求证$\tan \alpha \tan \beta-1=2(\tan \alpha-\tan \beta)$

kuing

对待证等式两边乘 `\cos \alpha\cos \beta` 化简可知等价于证明
\[-\cos(\alpha+\beta)=2\sin(\alpha-\beta),\]
易证
\begin{align*}
\alpha+\beta&=\pi-\frac{\angle MON}2,\\
\alpha-\beta&=\angle APM-\angle BPN\\
&=\angle ANM-\angle BAN\\
&=\angle C,
\end{align*}
所以等价于证
\[\cos\frac{\angle MON}2=2\sin C,\]
不妨设圆半径为 `1`，记 `O` 到 `MN` 距离为 `d`，则 `\cos(\angle MON/2)=d`，而 `OC=2`，故 `\sin C=d/2`，故上式成立。

aishuxue

学习了啊！，谢谢！