等长点的问题

hejoseph

若给定 $\triangle ABC$，点 $A'$ 在直线 $BC$ 上，点 $B'$ 在直线 $CA$ 上，点 $C'$ 在直线 $AB$ 上，且点 $A'$、$B'$、$C'$ 不与 $\triangle ABC$ 的任意顶点重合，直线 $AA'$、$BB'$、$CC'$ 相交于同一点 $P$ 且 $AA'=BB'=CC'$，则我们称点 $P$ 为 $\triangle ABC$ 的等长点。

以下设 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，$\triangle ABC$ 的面积为 $S$，$AA'=BB'=CC'=l$，$\triangle BCP$、$\triangle CAP$、$\triangle ABP$ 的有向面积分别为 $S_A$、$S_B$、$S_C$，且 $S_A:S_B:S_C=\alpha:\beta:\gamma$，其中 $\alpha+\beta+\gamma=1$，证明 $l$ 是下面方程的最大解：
\[
2l^4-(a^2+b^2+c^2)l^2+6S^2=0，
\]
$\alpha$ 满足方程
\[
162S^2\left(\alpha-\frac{1}{3}\right)^4+9(2a^4-a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2)\left(\alpha-\frac{1}{3}\right)^2-2(b^2-c^2)^2=0，
\]
$\beta$ 满足方程
\[
162S^2\left(\beta-\frac{1}{3}\right)^4+9(2b^4-b^2(c^2+a^2)+(c^2-a^2)^2)\left(\beta-\frac{1}{3}\right)^2-2(c^2-a^2)^2=0，
\]
$\gamma$ 满足方程
\[
162S^2\left(\gamma-\frac{1}{3}\right)^4+9(2c^4-c^2(a^2+b^2)+(a^2-b^2)^2)\left(\gamma-\frac{1}{3}\right)^2-2(a^2-b^2)^2=0。
\]

能否确定具体 $(\alpha,\beta,\gamma)$ 的两组解？现在猜想若 $a\leqslant b$ 且 $a\leqslant c$，则 $\alpha$ 为对应方程的最小解时候 $\beta$、$\gamma$ 对应方程的最大解，$\alpha$ 为对应方程的最大解时候 $\beta$、$\gamma$ 对应方程的最小解。

hbghlyj

转载三角形问题与斜环索线
由等角导致的线段等长
构造平行四边形ABCD，直线AX交DC于M，CX交DA于N，则AM=CN。

证明：连接直线BX。用[ABC]表示△ABC的有向面积。
[ABM]=[ABD]=[BCD]=[BCN]，且BX与AX的夹角等于BX与CX的夹角，所以AM*BX=CN*BX，AM=CN。

等截线问题
给定△ABC，要求找到点X，直线AX、BX、CX分别与对边所在直线交于D、E、F，使得AD=BE=CF。
转载三角形等截线问题的斜环索线解法
构造三角形DEF，使得三角形ABC是三角形DEF的中位三角形。
构造三角形ABF的【F-斜环索线】，图中紫色曲线。构造三角形BCD的【D-斜环索线】，图中青色曲线。构造三角形CAE的【E-斜环索线】，图中绿色曲线。三条斜环索线一般有两个公共点，则是满足题目要求的X点。

hbghlyj

巨龙曲线学习笔记 5临界情形斜环索线
推论5.2:斜环锁线关于其自交点的反演像是等轴双曲线.
另外一个刻画在处理所谓“等Ceva线问题”时作用极大.
定理5.5:给定△ABC,P是平面上一点,BP∩AC=E,CP∩AB=F,则满足BE=CF的P的轨迹是斜环锁线.

证:这不过是虚张声势的初中平几.考虑平行四边形ABDC,D在BE,CF上的投影分别为U,V.由S_(△BED)=S_(△ABC)=S_(△CFD)和BE=CF即得DU=DV,故由推论5.1即得结论成立.
再次回忆Poncelet小定理,我们可以得到BE=CF等价于存在一个以P为焦点的椭圆与DB切于B,与DC切于C,于是轮换立刻得到:
推论5.3:若P是△ABC的Steiner外接椭圆的一个焦点,其Ceva三角形为△DEF,则AD=BE=CF.
纯几何吧1981等西瓦点
纯几何吧1971斜环索
zh.wikipedia.org/wiki/環索線

hbghlyj

构造三角形ABF的【F-斜环索线】，图中紫色曲线。
设 AB < CA.
对 F-斜环索线上一点P (不在直线DE, EF上), 函数 ℬ(P) = AA' − CC' 是连续的.
当 P 趋于 A 时, 设曲线在 A 的切线与 BC 交于 T_A, 则 A' → T_A. 由于环索线的等角性质, ∠FAB = ∠EAT_A, 所以 AT_A = AB. 而 C' 趋于 A, 则 ℬ(P) 趋于 ℬ(P) = AT_A − CA = AB − CA < 0
当 P 趋于 F 时, AA' → +∞, 而 C' 趋于 AB 中点, 则 ℬ(P) → +∞
由介值定理, 在曲线的连续段 AF 上 ∃P, ℬ(P)=0
因此 AA' = CC'. 而 P 在 F-斜环索线上, 故也有 AA' = BB'. 证毕.

补充: 使 AA' = CC' 的点 P 的集合是 E-斜环索线与直线AC的并集.
曲线在点A和点F之间有两个连续段, 根据上述论证, 分别有一个点 P 满足 ℬ(P)=0, 其中一个是 F-斜环索线和直线 AC 的交点, 另一个是我们要找的等长点(即F-斜环索线与E-斜环索线的交点).

hbghlyj

hejoseph 发表于 2023-1-11 07:42
证明 $l$ 是下面方程的最大解：
\[
2l^4-(a^2+b^2+c^2)l^2+6S^2=0，
\]

请问如何证明两个等长点的$l$是相等的

hbghlyj

Equicevian Points of a Triangle
    Jstor
    Taylor & Francis
    December 2015, The American Mathematical Monthly 122(10):995
    DOI: 10.4169/amer.math.monthly.122.10.995

Do two new special points in any triangle exist?
    MathOverflow

Equicevian points on the altitudes of a triangle
    Elemente der Mathematik, 67 (2012) 187 – 195
    PDF
    DOI 10.4171/EM/209

Bickart Points
    Mathworld

Equicevian Points and Cubics of a Triangle
    Journal for Geometry and Graphics, Volume 18 (2014), No. 2, 133–157
    PDF

Equicevian points and equiangular lines of a triangle in an isotropic plane
    Sarajevo Journal of Mathematics
    DOI: 10.5644/SJM.11.1.08
    Vol.11 (23), No.1, (2015), 101–107
    PDF

Long altitudes and an unexpected appearance of the golden ratio
    The Mathematical Gazette; Leicester Vol. 102, Iss. 555,  (Nov 2018): 523-527.
    DOI:10.1017/mag.2018.131

Covertex inscribed triangles of parabola in isotropic plane
    Download
    DOI 10.31896/k.23.3
    KoG, Vol. 23 No. 23, 2019.

Strophoids – cubic curves with remarkable properties
    PDF

Problems in geometry
    PDF
Problem 167 [AMM]
(c) Show that the equicevian points divide the cevian through A in a constant ratio, independent of the choice of A.

hejoseph

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hejoseph

hejoseph 发表于 2023-1-14 17:19
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hejoseph

进一步结论：等长点是三角形外接Steiner椭圆的焦点，且长度是这个椭圆长半轴的 1.5 倍。