紧线性算子之和仍是紧线性算子

abababa

设$T_1,T_2$都是从巴拿赫空间$X$到$Y$的紧线性算子，求证$T_1+T_2$也是从$X$到$Y$的紧线性算子。
紧线性算子的定义：设$T:X\to Y$是线性算子，若对任意的有界集$M\subseteq X$都有$T(M)$是列紧集，则称$T$是紧线性算子。

我是这么想的，设$M$是$X$中的任意一个有界集，对任意的$\{y_n\}\subseteq (T_1+T_2)(M)$，显然存在$x_n\in M$使得$(T_1+T_2)x_n=y_n$，然后分别考虑$T_1x_n,T_2x_n$，因为$T_1$是紧线性算子，所以$T_1(M)$是列紧集，即存在$y_n^{(1)}=T_1x_n$的子序列$y_{n_s}^{(1)}$收敛到$Y$中的点$y_1$，同理也存在$y_n^{(2)}=T_2x_n$的子序列$y_{n_t}^{(2)}$收敛到$Y$中的点$y_2$，现在$y_n=y_n^{(1)}+y_n^{(2)}$，只要找到$\{y_n\}$的一个子序列收敛到$Y$中就行了。但这个子序列要怎么构造呢？应该是$y_{n_s}^{(1)}+y_{n_t}^{(2)}$之类的，但这里$s,t$不一定相等，那就不能加了。

abababa

构造法还是没弄出来，但通过别的方式证明了：
由紧线性算子的定义知$T_1(M),T_2(M)$都是列紧集，由自列紧集的定义知$\overline{T_1(M)}$是自列紧集，因此是紧致集，同理$\overline{T_2(M)}$是紧致集，两个紧致集之和仍是紧致集，即$\overline{T_1(M)}+\overline{T_2(M)}$是紧致集。

因为$\overline{T_1(M)}$是紧致集，所以$\overline{T_1(M)+T_2(M)}=\overline{T_1(M)}+\overline{T_2(M)}$，但右边是紧致集，左边显然等于$\overline{(T_1+T_2)(M)}$，即$\overline{(T_1+T_2)(M)}$是紧致集，从而是自列紧集，由自列紧集的定义知$(T_1+T_2)(M)$是列紧集，再由紧线性算子的定义知$T_1+T_2$是紧线性算子。