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本帖最后由 hbghlyj 于 2023-1-21 15:10 编辑 习题1-2,1,(1)
做出如下微分方程的线素场:$y'=\frac{xy}{|xy|}$.
解当 $x,y$ 同号时,$y'=1$,当 $x,y$ 异号时,$y'=-1$.因此可做线素场如下:
%20--%20(9.36,0);%0D%0A%5Cforeach%20%5Cx%20in%20%7B-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9%7D%0D%0A%5Cdraw%5Bshift=%7B(%5Cx,0)%7D%5D%20(0pt,2pt)%20--%20(0pt,-2pt)%20node%5Bbelow%5D%20%7B%5Cfootnotesize%20%24%5Cx%24%7D;%0D%0A%5Cdraw%5B-%3E%5D%20(0,-3.6)%20--%20(0,3.97);%0D%0A%5Cforeach%20%5Cy%20in%20%7B-3,-2,-1,1,2,3%7D%0D%0A%5Cdraw%5Bshift=%7B(0,%5Cy)%7D%5D%20(2pt,0pt)%20--%20(-2pt,0pt)%20node%5Bleft%5D%20%7B%5Cfootnotesize%20%24%5Cy%24%7D;%0D%0A%5Cdraw(0pt,-10pt)%20node%5Bright%5D%20%7B%5Cfootnotesize%20%240%24%7D;%0D%0A%5Cclip(-7.6,-3.6)%20rectangle%20(9.36,3.97);%0D%0A%5Cdraw%20%5Bdomain=0.0:9.36317978586575%5D%20plot(%5Cx,%7B(-0--1*%5Cx)%2F1%7D)plot(%5Cx,%7B(--1--1*%5Cx)%2F1%7D)plot(%5Cx,%7B(--2--1*%5Cx)%2F1%7D)plot(%5Cx,%7B(-2-1*%5Cx)%2F1%7D)plot(%5Cx,%7B(-1-1*%5Cx)%2F1%7D)plot(%5Cx,%7B(-0-1*%5Cx)%2F1%7D);%0D%0A%5Cdraw%20%5Bdomain=1.0:9.36317978586575%5D%20plot(%5Cx,%7B(-1--1*%5Cx)%2F1%7D)plot(%5Cx,%7B(--1-1*%5Cx)%2F1%7D);%0D%0A%5Cdraw%20%5Bdomain=2.0:9.36317978586575%5D%20plot(%5Cx,%7B(-2--1*%5Cx)%2F1%7D)plot(%5Cx,%7B(--2-1*%5Cx)%2F1%7D);%0D%0A%5Cdraw%20%5Bdomain=-7.600390760110365:0.0%5D%20plot(%5Cx,%7B(-0-1*%5Cx)%2F-1%7D)plot(%5Cx,%7B(--1-1*%5Cx)%2F-1%7D)plot(%5Cx,%7B(--2-1*%5Cx)%2F-1%7D)plot(%5Cx,%7B(-0--1*%5Cx)%2F-1%7D)plot(%5Cx,%7B(-1--1*%5Cx)%2F-1%7D)plot(%5Cx,%7B(-2--1*%5Cx)%2F-1%7D);%0D%0A%5Cdraw%20%5Bdomain=-7.600390760110365:-2.0%5D%20plot(%5Cx,%7B(-2-1*%5Cx)%2F-1%7D)plot(%5Cx,%7B(--2--1*%5Cx)%2F-1%7D);%0D%0A%5Cdraw%20%5Bdomain=-7.600390760110365:-1.0%5D%20plot(%5Cx,%7B(-1-1*%5Cx)%2F-1%7D)plot(%5Cx,%7B(--1--1*%5Cx)%2F-1%7D);%0D%0A%5Cend%7Btikzpicture%7D)
显然该微分方程的奇异点都在横纵坐标轴上.
习题1-2,1,(2)
作出如下微分方程的线素场:$y'=(y-1)^2$.
解我们先求线素场的等斜线.令 $y'=(y-1)^2=k$,则
\begin{equation}
\label{eq:3.09pm}
y=\pm\sqrt{k}+1.
\end{equation}
这说明线素斜率为 $k$ 的所有点,都是由直线 $y=\pm\sqrt{k}+1$ 组成的.当$y>1$ 时,随着 $y$ 的增大,$y'$ 随之增大的速度更快,且 $y'$ 保持正.当$0<y<1$ 时,随着 $y$ 的增大,$y'$ 随之减小,但是 $y'$ 仍然为正.且 $y'\in(0,1)$.当 $y<0$ 时,随着 $y$ 的减小,$y'$ 却随之增大,且增大速度比 $y$ 的减小速度快.
用 Matlab 作图:
- [x,y]=meshgrid(-3:.5:3,-3:.5:3);
- dy=(y-1).^2;
- dx=ones(size(dy));
- dyu=dy./sqrt(dy.^2+dx.^2);
- dxu=dx./sqrt(dy.^2+dx.^2);
- quiver(x,y,dxu,dyu,'ShowArrowHead','off')
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显然,该方程没有奇点.
习题1-2,(3)
作出如下微分方程的线素场:$y'=x^2+y^2$.
解我们先做出线素场的等斜线.令
$$
y'=x^2+y^2=k,
$$
则可得斜率为 $k$ 的所有点组成以原点为圆心的,半径为 $\sqrt{k}$ 的圆.当
圆的半径越来越大时,那些点的斜率以快的多的速度增长.
用 Matlab 画图
- [x,y]=meshgrid(-3:.5:3,-3:.5:3);
- dy=x.^2+y.^2;
- dx=ones(size(dy));
- dyu=dy./sqrt(dy.^2+dx.^2);
- dxu=dx./sqrt(dy.^2+dx.^2);
- quiver(x,y,dxu,dyu,'ShowArrowHead','off')
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习题1-2,2,(1)
利用线素场研究微分方程 $y'=1+xy$ 的积分曲线族.
解该微分方程的线素场的等斜线是
$$
y'=1+xy=k.
$$
得到
$$
xy=k-1.
$$
当 $k=1$ 时,$x=0$ 或 $y=0$ 是等斜线,积分曲线位于 $x=0,y=0$ 上的点的斜率都为1.
用 Matlab 画线素场:
- [x,y]=meshgrid(-3:.5:3,-3:.5:3);
- dy=1+x.*y;
- dx=ones(size(dy));
- dyu=dy./sqrt(dy.^2+dx.^2);
- dxu=dx./sqrt(dy.^2+dx.^2);
- quiver(x,y,dxu,dyu,'ShowArrowHead','off')
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该微分方程没有奇点.
习题1-2,2,(2)
利用线素场研究微分方程 $y'=x^2-y^2$ 的积分曲线族.
解先求该微分方程的等斜线.令
$$
y'=x^2-y^2=k,
$$
其中 $k$ 是常数.当 $k=0$ 时,得到等斜线 $x=\pm y$,可见,等斜线 $x=y$ 和 $x=-y$ 上的点斜率都为 0.当 $k>0$ 时,等斜线(双曲线)$x^2-y^2=k$ 的极径是沿着横坐标方向的,当 $k<0$ 时,等斜线(双曲线) $x^2-y^2=k$ 的极径是沿着纵坐标方向的.
用 Matlab 画出线素场:
- [x,y]=meshgrid(-3:.5:3,-3:.5:3);
- dy=x.^2-y.^2;
- dx=ones(size(dy));
- dyu=dy./sqrt(dy.^2+dx.^2);
- dxu=dx./sqrt(dy.^2+dx.^2);
- quiver(x,y,dxu,dyu,'ShowArrowHead','off')
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该微分方程没有奇点. |
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