我回来啦

血狼王

若非负实数$a,b,c$满足$abc\geq 1.$
求证
$$\frac{15a^2+1}{(5a+3)^3}+\frac{15b^2+1}{(5b+3)^3}+\frac{15c^2+1}{(5c+3)^3}\leq \frac{3}{32}.$$

kuing

wellcome back

用函数方法分类讨论好了，令
\[f(x)=\frac{15x^2+1}{(5x+3)^3},\quad x\geqslant0,\]
则
\[f'(x)=-\frac{15(x-1)(5x-1)}{(5x+3)^4},\]
所以 `f(x)` 在 `(0,1/5)` 上 `\searrow`，在 `(1/5,1)` 上 `\nearrow`，在 `(1,+\infty)` 上 `\searrow`，而 `f(0)=1/27>f(1)=1/32`，所以 `f(x)_{\max}=f(0)`，又由
\[f(x)-f(1)=-\frac{5(x-1)^2(25x-1)}{32(5x+3)^3},\]
可知当 `x\geqslant1/25` 时 `f(x)\leqslant f(1)`，所以分类，不妨设 `a\leqslant b\leqslant c`，则：

（1）若 `a\geqslant1/25`，则 `f(a)+f(b)+f(c)\leqslant3f(1)=3/32`；

（2）若 `a<1/25`，则由条件知 `bc>25`，则 `c>5`，所以
\[f(a)+f(b)+f(c)<2f(0)+f(5)=\frac{6757}{74088}<\frac3{32}.\]

血狼王

kuing 发表于 2023-1-19 15:48
wellcome back

用函数方法分类讨论好了，令

谢谢，这道题其实只是个副产品，关键结果我暂时没写出来，不过估计解出来都是类似的套路
后面看看吧