共点线四面体的体积

hejoseph

这个问题有点意思：若 $P$ 是空间一点，并且不与点 $A$、$B$、$C$、$D$ 重合，直线 $AP$ 交平面 $BCD$ 于点 $A'$，直线 $BP$ 交平面 $ACD$ 于点 $B'$，直线 $CP$ 交平面 $ABD$ 于点 $C'$，直线 $DP$ 交平面 $ABC$ 于点 $D'$，已知四面体 $ABCD$ 的体积为 $V$，四面体 $PBCD$、$PACD$、$PADB$、$PABC$ 的有向体积之比为 $\alpha:\beta:\gamma:\delta$，求四面体 $A'B'C'D'$ 的体积。

hbghlyj

《几何瑰宝 上册》第42页
定理 设点 $D, E, F$ 分别在 $\triangle A B C$ 所在边的直线上, 且 $\frac{A F}{F B}=\lambda_3, \frac{B D}{D C}=\lambda_1, \frac{C E}{E A}=\lambda_2$, 则
$$
\frac{S_{\triangle D E F}}{S_{\triangle A B C}}=\frac{1+\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3}{\left(1+\lambda_1\right)\left(1+\lambda_2\right)\left(1+\lambda_3\right)}
$$

hejoseph

发个结论，四面体 $A'B'C'D'$ 的体积是
\[
\frac{3|\alpha\beta\gamma\delta|V}{|(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha+\beta+\delta)(\alpha+\gamma+\delta)(\beta+\gamma+\delta)|}
\]

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-1-20 18:41
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《几何瑰宝 上册》第42页
定理 设点 $D, E, F$ 分别在 $\triangle A B C$ 所在边的直线 ...

若 $P$ 是平面一点，并且不与点 $A$、$B$、$C$ 重合，直线 $AP$ 交 $BC$ 于点 $A'$，直线 $BP$ 交 $CA$ 于点 $B'$，直线 $CP$ 交 $AB$ 于点 $C'$，$\S{PBC}:\S{PCA}:\S{PAB}=\alpha:\beta:\gamma$，则$$\S{A'B'C'}=\frac{2\alpha\beta\gamma\S{ABC}}{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}$$