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在Automorphisms of the Unit Disc和Zoology of Aut(D)写了一种Möbius变换 “hyperbolic translation”$$z\mapsto\frac{z-\alpha}{\alpha^* z-1}=\frac{\frac{1-\alpha \alpha ^*}{(\alpha^*) ^2} }{z-\frac{1}{\alpha ^*}}+\frac{1}{\alpha ^*}\qquad z,\alpha\in\Bbb C$$[见这帖] 将单位圆变为自己, 将 $\alpha$ 变为 $0$.
在 Hua Luogeng (1981) Starting with the unit circle 第7页:
§3. 单位球的几何学
以上的实形式建议以下的可能推广:
命 $x=\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ 代表一 $n$ 维矢量,而
$$\tag1
x x^{\prime}<1
$$
代表一单位球, 以上建议
$$\tag2
y=\frac{x-a-x x^{\prime} a+x\left(2 a^{\prime} a-a a^{\prime} I\right)}{1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}}, \quad a a^{\prime}<1
$$
可能是一个变形把单位球一对一地变为其自己, 而且把 $x=a$ 变为 $y=0$.
先把 $y$ 写成为
$$\tag3
y=\frac{\left(1-a a^{\prime}\right)(x-a)-a(x-a)(x-a)^{\prime}}{1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}}, \quad a a^{\prime}<1 .
$$
作内积
\begin{align*}
y y^{\prime}&=\frac{\left(1-a a^{\prime}\right)^2(x-a)(x-a)^{\prime}}{\left(1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}\right)^2}
-\frac{2\left(1-a a^{\prime}\right)(x-a)\left(x-a^{\prime}\right) a(x-a)^{\prime}}{\left(1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}\right)^2} +\frac{a a^{\prime}\left[(x-a)(x-a)^{\prime}\right]^2}{\left(1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}\right)^2} \\
&=\frac{(x-a)(x-a)^{\prime}}{\left(1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}\right)^2}\left[\left(1-a a^{\prime}\right)^2-2\left(1-a a^{\prime}\right)(x-a) a^{\prime}+a a^{\prime}(x-a)(x-a)^{\prime}\right] \\
&=\frac{(x-a)(x-a)^{\prime}}{1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}}\tag4 \end{align*}
由(3) 可知\[\tag5
y+y y^{\prime} a=\frac{\left(1-a a^{\prime}\right)(x-a)}{1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}},
\]
再作内积
$$
\left(y+y y^{\prime} a\right)\left(y+y y^{\prime} a\right)^{\prime}=\frac{\left(1-a a^{\prime}\right)^2(x-a)(x-a)^{\prime}}{\left(1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}\right)^2} .
$$
由 (4) 得 $y y^{\prime}\left(1+2 a y^{\prime}+a a^{\prime} y y^{\prime}\right)=\frac{\left(1-a a^{\prime}\right)^2 y y^{\prime}}{1+2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}}$.
如果 $y y^{\prime}=0$, 则 $y=0$, 由 (4)得 $x=a$. 如果 $y y^{\prime} \neq 0$, 则得等式
$$\tag6
1+2 a y^{\prime}+a a^{\prime} y y^{\prime}=\frac{\left(1-a a^{\prime}\right)^2}{1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}}
$$
(这对 $y=0, x=a$ 也对). 代入 (5) 式得
$$
x=a+\frac{\left(y+y y^{\prime} a\right)\left(1-a a^{\prime}\right)}{1+2 a y^{\prime}+a a^{\prime} y y^{\prime}}
$$
即
$$\tag7
x=\frac{y+a+a y y^{\prime}+y\left(2 a^{\prime} a-a a^{\prime} I\right)}{1+2 a y^{\prime}+a a^{\prime} y y^{\prime}} .
$$
这与 (2) 的形式完全相同, 只不过把 $a$ 换成 $-a$ 而已. 因此 (2) 的确是一个一对一的变形 (对整个空间都如此,除去分母为 0 的情况, 不难证明, 例外仅有 $y=-a /\left(a a^{\prime}\right)$ 一点而已). 再由 (4) 可知
\begin{align*}
1-y y^{\prime} & =\frac{1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}-(x-a)(x-a)^{\prime}}{1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}} \\
& =\frac{\left(1-a a^{\prime}\right)\left(1-x x^{\prime}\right)}{1-2 a x^{\prime}+a a^{\prime} x x^{\prime}} .\tag8
\end{align*}由 Schwarz 不等式可知, 分母
$$
1-2 a x^{\prime}-a a^{\prime} x x^{\prime}=\left(1-a x^{\prime}\right)^2+a a^{\prime} x x^{\prime}-\left(a x^{\prime}\right)^2>0 \text {, }
$$
这又证明了 (2) 把单位球变为其自己.
除形式 (2) 的变形以外,变形
$$\tag9
y=x \Gamma, \quad \Gamma \Gamma^{\prime}=I
$$
也显然把单位球变为其自己.
(2) 与 (9) 所演出的群就是我们所要讨论的群. 我们现在是研究在此群下, 单位球内点所成的空间的几何学.
这个空间称为双曲空间, 由(2)和(9)所演出的群称为非欧运动群. 在此群下, 球内任一点可以变为原点, 而且任意相互正交的$n$个方向可以变为$n$个坐标轴的正向. |
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