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A first course in combinatorial mathematics, page 52, Problem 6.
背景：某些由苯环组成的有机化合物可以用连接在一起的六边形表示：
问题：
从一个固定的底六边形向上构造正六边形。不允许3个六边形有共同的顶点，故第一步有2种情况：
从底六边形可以粘1个六边形（粘在 $a, b, c$ 任意一边上）或2个六边形（在 $a$ 和 $c$ 各一个）。
设 $h_n$ 为 $n$ 个六边形构型数，$s_n, d_n$ 分别为底六边形粘1个和2个六边形时的构型数。证明：
(a) $s_n+d_n=h_n(n \geqslant 2)$,
(b) $s_{n+1}=3 h_n$,
(c) $d_{n+1}=h_1 h_{n-1}+h_2 h_{n-2}+\cdots+h_{n-1} h_1$.
设 $h(x), s(x), d(x)$ 是对应的生成函数，证明：
(d) $h(x)=s(x)+d(x)+x$,
(e) $s(x)=3 x h(x)$,
(f) $d(x)=x\{h(x)\}^2$, 以及 $x\{h(x)\}^{2}+(3 x-1) h(x)+x=0$ |
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