构造一个积性函数,和任何多项式只在有限个值相等

hbghlyj

是否存在一个积性函数$f(n)$ (不是常数), 对任何多项式$p(n)$, 方程$f(n)=p(n)$只有有限个解?

例如
$\sigma _0(n)$：$n$ 的正约数的数目
当$n$为质数, $\sigma _0(n)=2$.
所以$\sigma _0(n)$不满足要求.
$\sigma _1(n)$：$n$的正约数之和
当$n$为质数, $\sigma_1(n)=n+1$.
所以$\sigma _1(n)$不满足要求.

Czhang271828

构造积性函数 $\Phi:1\mapsto 1,p_k^{n}\mapsto p_k^{p_k^n}$, 对任意互质的 $a,b\in \mathbb N_+$, 的确有 $\Phi(ab)=\Phi(a)\cdot \Phi(b)$. 但对任意 $M>0$, $\Phi(x)\leq x^M$ 的解有限, 从而 $\Phi(x)$ 与任意多项式有且仅有有限个交点.