来自人教群的一道三次方程三正根不等式

kuing

依题意可设三个正实根为 $x$, $y$, $z$，则 $a=x+y+z$, $b=xy+yz+zx$, $c=xyz$，于是
\begin{align*}
\frac{1+a+b+c}{3+2a+b}-\frac cb &=\frac{(1+x)(1+y)(1+z)}{(1+x)(1+y)+(1+z)(1+x)+(1+y)(1+z)}-\frac{xyz}{xy+yz+zx}\\
&=\frac1{\frac1{1+x}+\frac1{1+y}+\frac1{1+z}}-\frac1{\frac1x+\frac1y+\frac1z}\\
&=\frac{\frac1{x(1+x)}+\frac1{y(1+y)}+\frac1{z(1+z)}}{\left( \frac1x+\frac1y+\frac1z \right)\left( \frac1{1+x}+\frac1{1+y}+\frac1{1+z} \right)},
\end{align*}
由切比雪夫不等式有
\[\left( \frac1x+\frac1y+\frac1z \right)\left( \frac1{1+x}+\frac1{1+y}+\frac1{1+z} \right)\leqslant 3\left( \frac1{x(1+x)}+\frac1{y(1+y)}+\frac1{z(1+z)} \right),\]
故
\[\frac{1+a+b+c}{3+2a+b}-\frac cb\geqslant \frac13.\]

kuing

忘了说取等条件 $x=y=z$。

其妙

回复 2# kuing
牛笔！式子还能搞得这么对称？
类似于那个2013年第十届东南数学奥林匹克第一天第一题：
那个题怎么作比较简洁？

kuing

回复 3# 其妙

贴题上来瞧瞧啊

其妙

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kuing

回复 5# 其妙

这个应该很简单，先将 b 放成 a，变成求一元函数最小值，当然也要对 a 的范围也要求下
时间关系，先煮饭

kuing

比我想象中还简单，因为放掉 b 后居然能约掉分式……太水了

题目：实数 $a$, $b$ 使得方程 $x^3-ax^2+bx-a=0$ 有三个正实根。求 $(2a^3-3ab+3a)/(b+1)$ 的最小值。

依题意设三正实根为 $x$, $y$, $z$，则 $a=x+y+z=xyz$, $b=xy+yz+zx$，由均值有
\begin{gather*}
b^2=(xy+yz+zx)^2\geqslant 3xyz(x+y+z)=3a^2, \\
b=xy+yz+zx\leqslant \frac{(x+y+z)^2}3=\frac{a^2}3,
\end{gather*}
故
\[ \frac{a^4}9\geqslant b^2\geqslant 3a^2\riff a\geqslant 3\sqrt3,\]
易证 $(2a^3-3ab+3a)/(b+1)$ 关于 $b$ 递减，所以
\[\frac{2a^3-3ab+3a}{b+1}\geqslant\frac{2a^3-a^3+3a}{\frac{a^2}3+1}= 3a\geqslant9\sqrt3,\]
当 $x=y=z=\sqrt3$ 时取等。

其妙

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厉害！
据说这里有个变式题目：（条件和东南题目相同）

kuing

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也是很水，$2a^3\geqslant 6ab$，下略

其妙

回复 9# kuing

那个99可不可以随意改？

kuing

回复 10# 其妙
显然要保证取等条件……

其妙

回复 11# kuing