限制条件下判断变量范围

lrh2006

（多选）已知正实数x,y满足2x+y=xy，则（  ）
A.$ xy\geqslant 8 $      B.$ x+y\geqslant 6 $   C.$ \frac{1}{x-1}+\frac{8}{y}\geqslant 4 $  D.$ 2x^2y+y^2\geqslant 48 $

选项AB会判断，CD请大佬们指点一下，谢谢

kuing

至少 C 可以消 y 求导判断呐

D 的话化齐次就好：第一项 3 次，第二项 2 次，可用条件把第一项降次，即 `2x^2y+y^2=2x(2x+y)+y^2=4x^2+2xy+y^2`，
本来还想着继续化零次，结果发现均值结合 A 刚刚好 `4x^2+2xy+y^2\geqslant 6xy\geqslant 48` 😄

lrh2006

噢噢，没有想到利用条件把D降次，就觉得三次很难受。C不求导有办法吗？

lrh2006

我消元试试看，也许可以

lrh2006

有点复杂，但是发现令x=2,可知C不成立

kuing

lrh2006 发表于 2023-2-4 18:35
有点复杂，但是发现令x=2,可知C不成立

嗯，实际上 C 那块最小值是 3

lrh2006

kuing 发表于 2023-2-4 20:55
嗯，实际上 C 那块最小值是 3

好的，谢谢kk，今天帮我解决了好几个问题