$ℤ^×_{2n+1}$倍角的余弦之和

hbghlyj

$x∈(0, π)$, 解方程

n	2n+1	$\displaystyle\sum_{\substack{1\leq k\leq n\\\gcd(k,2n+1)=1}}\cos kx=\frac{\mu (2n+1)}2$
3	7	$\cos x + \cos2x +\cos3x=-\frac12$
4	9	$\cos x + \cos2x +\cos4x=0$
5	11	$\cos x + \cos2x + \cos3x+\cos4x+\cos5x=-\frac{1}{2}$
6	13	$\cos x + \cos2x + \cos3x+\cos4x+\cos5x+\cos6x=-\frac{1}{2}$
7	15	$\cos x + \cos2x + \cos4x + \cos7x =\frac{1}{2}$
8	17	$\cos x + \cos2x + \cos3x+\cos4x+\cos5x+\cos6x+\cos7x+\cos8x=-\frac{1}{2}$
9	19	$\cos x + \cos2x +\cos3x+ \cos4x +\cos5x+\cos6x+ \cos7x +\cos8x+\cos9x=-\frac{1}{2}$
10	21	$\cos x+\cos2x+\cos4x+\cos5x+\cos8x+\cos10x=\frac{1}{2}$

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hbghlyj

规律:$2n+1$为质数, 用分圆多项式可找到全部根;$2n+1$为合数, 有剩下的根

3. $\{±1,±2,±3\}$为一个$ℤ^×_7$的代表系
   Cyclotomic[7]$=x^6+x^5 +\dots$的根$e^{n\frac{2\pi i}7},$$n∈\{±1,±2,±3\}$之和为$-1$
   故$x=\frac{2π}7,\frac{4π}7,\frac{6π}7$满足$\sum_{n∈\{±1,±2,±3\}}\cos(nx)=-1$
   即$\cos x + \cos2x + \cos3x =-\frac{1}{2}$
4. $\{±1,±2,±4\}$为一个$ℤ^×_9$的代表系
   Cyclotomic[9]$=x^6+x^3+1$的根$e^{n\frac{2\pi i}9},$$n∈\{±1,±2,±4\}$之和为$0$
   故$x=\frac{2π}9,\frac{4π}9,\frac{8π}9$满足$\sum_{n∈\{±1,±2,±4\}}\cos(nx)=0$
   即$\cos x + \cos2x +\cos4x=0$
   剩下的根$x=\fracπ2$
5. $\{±1,±2,±3,±4,±5\}$为一个$ℤ^×_{11}$的代表系
   Cyclotomic[11]$=x^{10}+x^9+\dots$的根$e^{n\frac{2\pi i}{11}},$$n∈\{±1,±2,±3,±4,±5\}$之和为$-1$
   故$x=\frac{2π}{11},\frac{4π}{11},\frac{6π}{11},\frac{8π}{11},\frac{10π}{11}$满足$\sum_{n∈\{±1,±2,±3,±4,±5\}}\cos(nx)=-1$
   即$\cos x + \cos2x + \cos3x+\cos4x+\cos5x=-\frac{1}{2}$
6. $\{±1,±2,±3,±4,±5,±6\}$为一个$ℤ^×_{13}$的代表系
   Cyclotomic[13]$=x^{12}+x^{11}+\dots$的根$e^{n\frac{2\pi i}{13}},$$n∈\{±1,±2,±3,±4,±5,±6\}$之和为$-1$
   故$x=\frac{2π}{13},\frac{4π}{13},\frac{6π}{13},\frac{8π}{13},\frac{10π}{13},\frac{12π}{13}$满足$\sum_{n∈\{±1,±2,±3,±4,±5,±6\}}\cos(nx)=-1$
   即$\cos x + \cos2x + \cos3x+\cos4x+\cos5x+\cos6x=-\frac{1}{2}$
7. WolframAlpha $\{±1,±2,±4,±7\}$为一个$ℤ^×_{15}$的代表系
   Cyclotomic[15]$=x^8 - x^7 +\dots$的根$e^{n\frac{2\pi i}{15}},$$n∈\{±1,±2,±4,±7\}$之和为$1$
   故$x=\frac{2π}{15},\frac{4π}{15},\frac{8π}{15},\frac{14π}{15}$满足$\sum_{n∈\{±1,±2,±4,±7\}}\cos(nx)=1$
   即$\cos x + \cos2x + \cos4x + \cos7x =\frac{1}{2}$
   剩下的根$x=\frac{2π}7,\frac{4π}7,\frac{6π}7$
8. WolframAlpha $\{±1,±2,±4,±5,±6,±7,±8\}$为一个$ℤ^×_{17}$的代表系
   Cyclotomic[17]$=x^{16}+ x^{15} +\dots$的根$e^{n\frac{2\pi i}{17}},$$n∈\{±1,±2,±4,±5,±6,±7,±8\}$之和为$-1$
   故$x=\frac{2π}{17},\frac{4π}{17},\frac{8π}{17},\frac{10π}{17},\frac{12π}{17},\frac{14π}{17},\frac{16π}{17}$满足$\sum_{n∈\{±1,±2,±4,±5,±6,±7,±8\}}\cos(nx)=-1$
   即$\cos x + \cos2x +\cos3x+ \cos4x +\cos5x+\cos6x+ \cos7x +\cos8x=-\frac{1}{2}$
9. WolframAlpha $\{±1,±2,±4,±5,±6,±7,±8,±9\}$为一个$ℤ^×_{19}$的代表系
   Cyclotomic[19]$=x^{18}+ x^{17} +\dots$的根$e^{n\frac{2\pi i}{19}},$$n∈\{±1,±2,±4,±5,±6,±7,±8,±9\}$之和为$-1$
   故$x=\frac{2π}{19},\frac{4π}{19},\frac{8π}{19},\frac{10π}{19},\frac{12π}{19},\frac{14π}{19},\frac{16π}{19},\frac{18π}{19}$满足$\sum_{n∈\{±1,±2,±4,±5,±6,±7,±8,±9\}}\cos(nx)=-1$
   即$\cos x + \cos2x +\cos3x+ \cos4x +\cos5x+\cos6x+ \cos7x +\cos8x+\cos9x=-\frac{1}{2}$
10. WolframAlpha $\{±1,±2,±4,±5,±8,±10\}$为一个$ℤ^×_{21}$的代表系
    Cyclotomic[21]$=x^{12} - x^{11} +\dots$的根$e^{n\frac{2\pi i}{21}},$$n∈\{±1,±2,±4,±5,±8,±10\}$之和为$1$
    故$x=\frac{2π}{21},\frac{4π}{21},\frac{8π}{21},\frac{10π}{21},\frac{16π}{21},\frac{20π}{21}$满足$\sum_{n∈\{±1,±2,±4,±5,±8,±10\}}\cos(nx)=1$
    即$\cos x+\cos2x+\cos4x+\cos5x+\cos8x+\cos10x=\frac{1}{2}$
    剩下的根是什么?

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-2-4 16:09
$n=10$
故$x=\frac{2π}{21},\frac{4π}{21},\frac{8π}{21},\frac{10π}{21},\frac{16π}{21},\frac{20π}{21}$满足$\sum_{n∈\{±1,±2,±4,±5,±8,±10\}}\cos(nx)=1$
即$\cos x+\cos2x+\cos4x+\cos5x+\cos8x+\cos10x=\frac{1}{2}$
剩下的根是什么?

根据TrigFactor有\begin{multline*}\cos x+\cos2x+\cos4x+\cos5x+\cos8x+\cos10x-
\frac{1}{2}=\\\frac12 (2\cos(x) + 4\cos(2 x) + 2\cos(3 x) + 2\cos(4 x) + 1) \\(-2\cos(2 x) + 2\cos(3 x) - 2\cos(5 x) + 2\cos(6 x) + 1)\end{multline*}上面的$x=\frac{2π}{21},\frac{4π}{21},\frac{8π}{21},\frac{10π}{21},\frac{16π}{21},\frac{20π}{21}$是第2个因式的6个根.
所以剩下的4个根全都是第一个因式的根$$2\cos(x) + 4\cos(2 x) + 2\cos(3 x) + 2\cos(4 x) + 1=0$$有两实根、两虚根

kuing

范围定在 `[0,\pi)` 内就够了吧，1 应该是 7 个解 `2\pi/7`, `4\pi/7`, `6\pi/7`, `2\pi/15`, `4\pi/15`, `8\pi/15`, `14\pi/15`。

kuing

hbghlyj 发表于 2023-2-5 03:34
谢谢。已改。
1是$n=7$，2是$n=10$，一般情况是怎样的呢

水太深不敢玩☺
放几个链接先，或许有点儿关联：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=4795&pid=22359
zhihu.com/question/460968964/answer/1901990325
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4886
水饺😪

hbghlyj

\begin{gathered}\cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7} =-\frac{1}{2}\\\cos ^{3}\frac{2\pi }{7}+\cos ^{3}\frac{4\pi }{7}+\cos ^{3}\frac{6\pi }{7}=-\frac{1}{2}\end{gathered}

hbghlyj

$ℤ^×_{15}=ℤ^×_2\timesℤ^×_4$ WolframAlpha
$ℤ^×_{21}=ℤ^×_2\timesℤ^×_2\timesℤ^×_3$ WolframAlpha


There is a formula^[5] for calculating the Möbius function without directly knowing the factorization of its argument:
\begin{equation}\label1\mu (n)=\sum _{\substack{1\leq k\leq n\\\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\end{equation}等价于: 分圆多项式$C_n$的根之和为$\mu(n)$.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-2-4 16:24
所以剩下的4个根全都是第一个因式的根$$2\cos(x) + 4\cos(2 x) + 2\cos(3 x) + 2\cos(4 x) + 1=0$$有两实根、两虚根

$t=\cos x$满足$16t^4 + 8t^3 - 8t^2 - 4t - 1=0$
wolframalpha.com/input?i=solve+16t%5E4+%2B+8t%5E3+-+8t%5E2+-+4t+-+1%3D0
或许没有简单的表达式, 此题应该完结了.

一般情况: 用二楼方法, 即式\eqref{1}, 能找到$ϕ(2n+1)\over2$个根, 如果$2n+1$为质数这些就是全部$n$个根; 如果$2n+1$为合数, 剩下的$n-{ϕ(2n+1)\over2}$个根没有找到简单的表达式.

有待探索6#的$\cos^3x$恒等式的一般形式.