与三角形、四边形相切、外接的圆锥曲线

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2023-2-16 15:30 Upload

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设 $\triangle ABC$ 的三边长是 $a$，$b$，$c$，其 Kiepert 双曲线的中心是 $O$，$\overline{S_{\triangle OBC}}$ 表示 $\triangle OBC$ 的有向面积，如此类推，实半轴、虚半轴长是 $p$，焦点分别是 $F_1$、$F_2$，由三角形外接圆锥曲线的结论可得
\[
\overline{S_{\triangle OBC}}:\overline{S_{\triangle OCA}}:\overline{S_{\triangle OAB}}=\left(b^2-c^2\right)^2:\left(c^2-a^2\right)^2:\left(a^2-b^2\right)^2，
\]
设 $P=a^4+b^4+c^4-a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2$，则
\[
\alpha=\frac{\left(b^2-c^2\right)^2}{2P}，\beta=\frac{\left(c^2-a^2\right)^2}{2P}，\gamma=\frac{\left(a^2-b^2\right)^2}{2P}，
\]
下面可得到轴长、焦点的信息：
\begin{align*}
&p=\sqrt{\frac{|(a^2-b^2)(a^2-c^2)(b^2-c^2)|S_{\triangle ABC}}{2P\sqrt{P}}}，\\
&\overline{S_{F_1BC}}=\frac{\left(b^2-c^2\right)^2}{2P}S_{\triangle ABC}+S_A，\overline{S_{F_2BC}}=\frac{\left(b^2-c^2\right)^2}{2P}S_{\triangle ABC}-S_A，\\
&\overline{S_{F_1CA}}=\frac{\left(c^2-a^2\right)^2}{2P}S_{\triangle ABC}+S_B，\overline{S_{F_2CA}}=\frac{\left(c^2-a^2\right)^2}{2P}S_{\triangle ABC}-S_B，\\
&\overline{S_{F_1AB}}=\frac{\left(a^2-b^2\right)^2}{2P}S_{\triangle ABC}+S_C，\overline{S_{F_2AB}}=\frac{\left(a^2-b^2\right)^2}{2P}S_{\triangle ABC}-S_C，\\
&S_A+S_B+S_C=0，\\
&S_A^2=\frac{\left(b^2-c^2\right)^2\left(c^2-a^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{4P^2}S_{\triangle ABC}^2+\frac{|(a^2-b^2)(a^2-c^2)(b^2-c^2)|a^2S_{\triangle ABC}}{8P\sqrt{P}}，\\
&S_B^2=\frac{\left(b^2-c^2\right)\left(c^2-a^2\right)^2\left(a^2-b^2\right)}{4P^2}S_{\triangle ABC}^2+\frac{|(a^2-b^2)(a^2-c^2)(b^2-c^2)|b^2S_{\triangle ABC}}{8P\sqrt{P}}，\\
&S_C^2=\frac{\left(b^2-c^2\right)\left(c^2-a^2\right)\left(a^2-b^2\right)^2}{4P^2}S_{\triangle ABC}^2+\frac{|(a^2-b^2)(a^2-c^2)(b^2-c^2)|c^2S_{\triangle ABC}}{8P\sqrt{P}}。
\end{align*}

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补充一个结论：

若二次曲线 $\Gamma$ 的中心是 $\triangle ABC$ 的重心坐标是 $\alpha:\beta:\gamma$（$\alpha\beta\gamma\neq 0$ 且 $\alpha+\beta+\gamma=0$）的无穷远点，且过点 $A$、$B$、$C$，则 $\Gamma$ 是抛物线。设 $\Gamma$ 的焦点是 $F$、顶点是 $O$、焦点到准线的距离是 $p$，则
\begin{align*}
&p=\frac{2|\alpha\beta\gamma|S^2}{\sqrt{-k^3}}，\\
&\overline{S_{\triangle FBC}}=\frac{\alpha\left(\beta\gamma(\alpha^2+\beta\gamma)a^2+\alpha^3(\gamma b^2+\beta c^2)\right)}{4\alpha\beta\gamma k}，\\
&\overline{S_{\triangle FCA}}=\frac{\beta\left(\gamma\alpha(\beta^2+\gamma\alpha)b^2+\beta^3(\alpha c^2+\gamma a^2)\right)}{4\alpha\beta\gamma k}，\\
&\overline{S_{\triangle FAB}}=\frac{\gamma\left(\alpha\beta(\gamma^2+\alpha\beta)c^2+\gamma^3(\beta a^2+\alpha b^2)\right)}{4\alpha\beta\gamma k}，\\
&\overline{S_{\triangle OBC}}=-\frac{k_Bk_C}{16\beta\gamma k^2}，\overline{S_{\triangle OCA}}=-\frac{k_Ck_A}{16\gamma\alpha k^2}，\overline{S_{\triangle OAB}}=-\frac{k_Ak_B}{16\alpha\beta k^2}，
\end{align*}
其中
\begin{align*}
k&=\beta\gamma a^2+\gamma\alpha b^2+\alpha\beta c^2，\\
k_A&=\beta\gamma(\beta-\gamma)a^2+\gamma\alpha(\beta-2\gamma)b^2-\alpha\beta(\gamma-2\beta)c^2，\\
k_B&=\gamma\alpha(\gamma-\alpha)b^2+\alpha\beta(\gamma-2\alpha)c^2-\beta\gamma(\alpha-2\gamma)a^2，\\
k_C&=\alpha\beta(\alpha-\beta)c^2+\beta\gamma(\alpha-2\beta)a^2-\gamma\alpha(\beta-2\alpha)b^2。
\end{align*}

给定无穷远点可以看作给定了直线的方向，上面的结论相当于给定抛物线的方向以及抛物线上三点来确定抛物线。若给定无穷远点重心坐标可按下面方法作出直线方向：

若给定点关于 $\triangle ABC$ 的重心坐标是 $\alpha:\beta:\gamma$，在直线 $BC$ 上作点 $D$ 使其满足 $BD : DC=\gamma : \beta$，在直线 $CA$ 上作点 $E$ 使其满足 $CE : EA=\alpha : \gamma$，在直线 $AB$ 上作点 $F$ 使其满足 $AD : DB=\beta : \alpha$，那么当 $\alpha+\beta+\gamma\neq 0$ 时直线 $AD$、$BE$、$CF$ 交于一点 $P$，这个点的重心坐标就是 $\alpha:\beta:\gamma$；当 $\alpha+\beta+\gamma=0$ 时直线 $AD$、$BE$、$CF$ 互相平行，这些直线相交于重心坐标是 $\alpha:\beta:\gamma$ 的无穷远点；特别地，当 $\alpha+\beta=0$，$\gamma=0$ 时此时的直线与直线 $AB$ 平行，等等。