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$\abs{\cos x\over x^2}\leqslant\frac1{x^2}\implies \frac{\cos x}{x^{2}} $在$[1,\infty)$上Lebesgue可积
分部积分$$\int_{1}^{a} \frac{\sin x}{x} \rmd x=\cos 1-\frac{\cos a}{a}-\int_{1}^{a} \frac{\cos x}{x^{2}} \rmd x$$
让$a$趋于无穷大, 推断$\int_{1}^\infty \frac{\sin x}{x} \rmd x$存在. 事实上$\frac{\sin x}{x}$在$[1,\infty)$上Lebesgue不可积.
所以对于Lebesgue积分, 无法从分部积分的存在推断积分的存在 |
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