如何计算 x²+y²+2z²≤1 和 0≤x,x≤y,x≤z 围成图形的体积？

hbghlyj

kuing 发表于 2021-11-2 02:35
首先我是将椭球拉伸为球，变成球面几何，求完后变回去即可。
约束条件就是三个平面围出来，三个平面都过球心，所以在球面上围出一个球面三角形，球面三角形的面积公式你知道吧？只需算三个角，也就是三个平面的夹角，这些其实都是基本东西。

Asymptote作图 HTML format 操作视图, 见此帖

hbghlyj

仿照这帖，先计算：
`x^2+y^2+z^2\leqslant1` 且 `0\leqslant x,x\leqslant y,x\leqslant\frac1{\sqrt2}z` 的体积。

记：
平面 1：`x=0`；
平面 2：`y=x`；
平面 3：`z=\sqrt2x`；

显然：
平面 1、2 的夹角为 `45\du`；
平面 1、3 的夹角为 `\arctan\frac1{\sqrt2}`；
平面 2、3 的夹角得算一算，平面 2 法向量 `\bm n_2=(-1,1,0)`，平面 3 法向量 `\bm n_3=(-\sqrt2,0,1)`，故夹角为
\[\arccos\frac{\abs{\bm n_2\cdot\bm n_3}}{\abs{\bm n_2}\cdot\abs{\bm n_3}}=\arccos\frac1{\sqrt3}.\]
注意，在所要计算的球面三角形中平面 2、3 为边的内角是钝角，它等于$\arccos\frac{-1}{\sqrt3}$
于是，这三个平面在球 `x^2+y^2+z^2=1` 上截得的球面三角形面积为 WolframAlpha
\[S=\frac\pi4+\arctan\frac1{\sqrt2}+\arccos\frac{-1}{\sqrt3}-\pi=2\arctan\frac1{\sqrt2} -\fracπ4\]而所求体积 `V` 满足 `V:V_{\text{球}}=S:S_{\text{球}}`，所以
\[V=\frac{4\pi}3\cdot\frac{2 \arctan\frac1{\sqrt2} -\fracπ4}{4\pi}=\frac13\left(2\arctan\frac1{\sqrt2}-\frac\pi4 \right).\]

那么对于原题来讲，结论就是
\[V=\frac1{3\sqrt2}\left(2\arctan\frac1{\sqrt2}-\frac\pi4 \right)=\frac1{3\sqrt2}\left(\arctan2\sqrt2-\frac\pi4 \right)\]

hbghlyj

In[]:= Volume[ImplicitRegion[x^2+y^2+2z^2<=1&&0<=x<=y&&x<=z,{x,y,z}]]

Out[]= (π-ArcTan[(56 Sqrt[2])/17])/(12 Sqrt[2])

\[V=\frac{\pi -\tan ^{-1}\left(\frac{56 \sqrt{2}}{17}\right)}{12 \sqrt{2}}=\frac1{3\sqrt2}\left(\arctan2\sqrt2-\frac\pi4 \right).\]