求一个凸六边形面积的最大值

lemondian

求解答过程。

hbghlyj

因为$CD=DE,\angle COD=\angle DOE$
所以$C,E$关于$OD$对称(此时$BC>2\sqrt2$), 或者$CDOE$共圆(此时$\triangle CDE$为正三角形)

没法画出指定的图😥

Ly-lie

由余弦定理，有$ a^2+b^2-ab=1 $等六式，相加得$$2\sum_{cyc}^\ a^2-\sum_{cyc}^\ ab=84\geqslant \sum_{cyc}^\ ab$$
故\[ S=\sum_{cyc}^\ \frac{1}{2}ab\sin 60\du =\frac{\sqrt{3}}{4}\sum_{cyc}^\ ab\leqslant 21\sqrt{3} \]

kuing

Ly-lie 发表于 2023-3-1 21:06
由余弦定理，有$ a^2+b^2-ab=1 $等六式，相加得$$2\sum_{cyc}^\ a^2-\sum_{cyc}^\ ab=84\geqslant \sum_{cy ...

这个能取等嘛？🤔

Ly-lie

kuing 发表于 2023-3-1 21:10
这个能取等嘛？🤔

应该取不了，我再想想🥵

kuing

hbghlyj 发表于 2023-3-1 17:39
没法画出指定的图😥

确实，不存在题中图形的数值，是为错题。

在 mma 用如下命令：

1. NSolve[{a^2 - a b + b^2 == 1, b^2 - b c + c^2 == 8,
2.    c^2 - c d + d^2 == 25, d^2 - d e + e^2 == 25,
3.    e^2 - e f + f^2 == 16, a^2 - a f + f^2 == 9}, {a, b, c, d, e, f}] // MatrixForm

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结果没一个是实数。

hbghlyj

kuing 发表于 2023-3-1 14:18
结果没一个是实数。

也可以限定domain为Reals, 输出{}

1. NSolve[{a^2-a b+b^2==1,b^2-b c+c^2==8,c^2-c d+d^2==25,d^2-d e+e^2==25,e^2-e f+f^2==16,a^2-a f+f^2==9},{a,b,c,d,e,f},Reals]

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hbghlyj

限定过多, 导致无解. 例如把$CD=5,DE=5$改为$CD=DE$, 可以求面积的最大值

lemondian

那么，这个问题：
（如1#图）已知凸六边形的对角线$AD,BE,CF$交于点$O$，且两两夹角都是$60^o,AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,EF=e,FA=f$。若凸六边形面积$S$有最大值，那么其边长要满足什么条件？

lemondian

hbghlyj 发表于 2023-3-2 01:57
限定过多, 导致无解. 例如把$CD=5,DE=5$改为$CD=DE$, 可以求面积的最大值

这个如何求最值？麻烦写个过程吧