在椭球体中的最大长方体

hbghlyj

7. Find the volume of the largest rectangular box (with all its edges parallel to the coordinate axes) that can be inscribed in the ellipsoid
$$
x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=1
$$
8. 椭球面 $4 x^2+y^2+4 z^2=16$ 上, 求 $f\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=2 x^2+y z-4 z$ 的最值
9. 在球面$x^2+y^2+z^2-2 z=0$, 求 $f\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=3 x y+z^3-3 z$ 的最值.
10. 在半球面 $S=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right): x^2+y^2+z^2=1, z \geq 0\right\}$ 求 $x y+z^3$ 的最值.

kuing

7 怎么不翻译？就是标题吗？不过你是要啥最大？体积吗？另外，长方体可不可以斜放？麻烦翻译并交待清楚。

hbghlyj

kuing 发表于 2023-3-3 08:37
另外，长方体可不可以斜放？

7. 求椭球体
$x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=1$内的最大长方体（所有棱都平行于坐标轴）的体积。
相当于$x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3}=1$求$8xyz$的最大值，显然是$8\sqrt2\over3$。
如果允许斜放呢？
8. $\max= \frac{32}3$ at $(x, y, z) = (-\frac43,-\frac43,-\frac43)$
$\min=-6\sqrt3$ at $(x, y, z)=(0, -2,\sqrt3)$

hejoseph

kuing 发表于 2023-3-3 15:37
7 怎么不翻译？就是标题吗？不过你是要啥最大？体积吗？另外，长方体可不可以斜放？麻烦翻译并交待清楚。 ...

椭球面若三轴长不同，则内接长方体的面一定平行于轴平面，这个如果有兴趣可以试试证明。如果有两轴相等，旋转一下就可以与轴平面平行了。因此只需要考虑与轴平面平行的情形。