$k$ 等角线二次曲线问题

hejoseph

如图，$AP$、$AP'$ 是 $\angle A$ 的三等分线，$BQ$、$BQ'$ 是 $\angle B$ 的三等分线，$CR$、$CR'$ 是 $\angle C$ 的三等分线，证明过点 $P$、$P'$、$Q$、$Q'$、$R$、$R'$ 的二次曲线是椭圆。

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或者说，需要证明这个结论：
令
\[
f(x,y,z)=\frac{\sin^4 3x\sin(x+3y)\sin(x+3z)}{\sin x\sin 2x}，g(p,q,r)=p^2+q^2+r^2-2(pq+pr+qr)，
\]
在满足 $x>0$，$y>0$，$z>0$，$x+y+z=\dfrac{\pi}{3}$ 时有
\[
g(f(x,y,z),f(y,z,x),f(z,x,y))<0。
\]

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借用 1 楼的图，问题推广如下：$AP$、$AP'$ 互为 $\angle A$ 的等角线，$BQ$、$BQ'$ 互为 $\angle B$ 的等角线，$CR$、$CR'$ 互为 $\angle C$ 的等角线，若 $\dfrac{\angle PAP'}{\angle A}=\dfrac{\angle QBQ'}{\angle B}=\dfrac{\angle RCR'}{\angle C}=k$，则过点 $P$、$P'$、$Q$、$Q'$、$R$、$R'$ 的二次曲线称为 $\triangle ABC$ 的 $k$ 等角线二次曲线，证明或否定 $k$ 等角线二次曲线是椭圆，若已知 $\triangle ABC$ 的三边长，求 $k$ 等角线二次曲线的轴长、焦点位置、离心率。

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关于六点在同一二次曲线上，有这个定理，Carnot 定理：仍用 1 楼的图，点 $P$、$P'$、$Q$、$Q'$、$R$、$R'$ 在同一二次曲线上的充要条件是
\[
\overline{AR}\cdot\overline{AR'}\cdot\overline{BP}\cdot\overline{BP'}\cdot\overline{CQ}\cdot\overline{CQ'}=\overline{AQ}\cdot\overline{AQ'}\cdot\overline{BR}\cdot\overline{BR'}\cdot\overline{CP}\cdot\overline{CP'}
\]

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查到资料，推广的命题 $t$ 在区间 $[0,1]$ 内的那些椭圆称为Hofstadter椭圆，下面的链接里有介绍，但是没有找到资料证明这些二次曲线都是椭圆
mathworld.wolfram.com/HofstadterEllipse.html

hejoseph

hejoseph 发表于 2023-3-10 16:47
查到资料，推广的命题 $t$ 在区间 $[0,1]$ 内的那些椭圆称为Hofstadter椭圆，下面的链接里有介绍，但是没有 ...

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2023-3-12 20:23 Upload

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计算结果，$k>1$ 时不一定是椭圆，但 $0\leqslant k\leqslant 1$ 时是椭圆的证明未解决。