$a^2/x+b^2/y+c^2/z=0$求证$xyz<0$

hbghlyj

George Chrystal - Algebra, An elementary textbook. For Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges. Volume 2 Page 52

(41.) 已知 $b+c>a,c+a>b,a+b>c,x+y+z>0,a^2/x+b^2/y+c^2/z=0$, 求证$xyz<0$

验证:

In[]:= FindInstance[{b+c>a,c+a>b,a+b>c,x+y+z>0,a^2/x+b^2/y+c^2/z==0,x y z>=0},{x,y,z,a,b,c}]

Out[]= {}

hbghlyj

证明:
由$b+c>a,c+a>b$得$c>0$, 同理$a,b>0$.
因为$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}=0$, 不能$x,y,z>0$. 而$x+y+z>0$, 所以$x,y,z$中只有2个$>0$或1个$>0$.
若$x,y,z$中只有1个$>0$, 设$x>0>y,z$.
由 Titu's Lemma 得$\frac{(b+c)}{x}>\frac{a^2}{x}=\frac{b^2}{-y}+\frac{c^2}{-z}\ge\frac{(b+c)^2}{-y-z}=\frac{(b+c)^2}x$矛盾.
因此$x,y,z$中只有2个$>0\implies xyz<0$.