证明广义西摩松线的一个线段长度比例关系

TSC999

P 是三角形 ABC 外接圆上的一点。从 P 点向三角形各边引倾角相等的斜线 PD、PE、PF，则 D、E、F 三点共线，这条线叫广义西摩松线。现在要求证明：\( \frac{ED}{EF}=\frac{BA}{BC}\frac{PC}{PA}\)

Ly-lie

$P$即为密克点，有$ \triangle APC\sim \triangle FPD,\frac{PC}{PA}=\frac{PD}{PF} $，且\[ \frac{PD}{ED}\cdot  \frac{EF}{PF}=\frac{\sin \angle PED}{\sin \angle DPE}\cdot \frac{\sin \angle FPE}{\sin \angle FEP}=\frac{\sin \angle BCP}{\sin \angle ACB}\cdot \frac{\sin \angle BAC}{\sin \angle BCP}=\frac{BC}{BA} \]