圆环上两点之间的距离

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Ants on a Doughnut
两只蚂蚁正在探索一个甜甜圈，并注意到甜甜圈上有两个区域糖和油脂的供应特别充足。这两个区域在甜甜圈上相距甚远。蚂蚁必须为其他蚂蚁指出一条路径。为了高效，蚂蚁希望找到两个好区域之间的最短路径。
蚂蚁注意到甜甜圈是通过围绕 z 轴旋转圆 $(x − 2)^2 + z^2 = 1$（在 xz 平面中）得到的。这会将甜甜圈放在 xyz 空间中。富含糖和油脂的区域位于 $(3, 0, 0)$ 和 $(−3, 0, 0)$ 位置。
路径 1：第一只蚂蚁 Grant 建议最短路线是沿着 $(3, 0, 0)$ 的路径，因为它围绕 z 轴旋转，如图 1 所示。
路径 2：第二只蚂蚁 Antonio，认为“内部”圆圈较小，因此绕半个圆圈 $(x − 2)^2 + z^2 = 1$ 是有意义的，因此它们位于 “小” 圆圈，沿着它绕到 $(−1, 0, 0)$ 点，然后从 $(−1, 0, 0)$ 绕到 $(−3, 0, 0) $。
路径 3：Grant听了Antonio的想法后认为在开始绕z轴旋转之前最好不要直接绕$(x − 2)2 + z^2 = 1$圆。Grant说：“为什么不同时绕两个圈？ 也许我们可以同时绕两个圆圈并节省一些距离。”
路径 4：Antonio 然后建议同时绕过两个部分，直到它们到达 xy 平面上的“内圆”，绕过内圆一段时间，最后绕过两者，直到到达 $(−3, 0 , 0)$。它们的路径可以关于 yz 平面对称。

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Mathcad
YuK 1-Newbie (To:TomGutman)
‎Mar 14, 2006 03:00 AM
There is Clairaut theorem.
For any point of a geodesic line on a surface of rotation - product of distance from an axis of rotation on sin of angle between a meridian and a geodesic line is constant. For torus (R+-(R^2-r^2))*sin(alfa)=const. The maximal value of a sin equally 1 (alfa=Pi/2), it is point of a turn of a geodesic line. Critical value of distance from an axis of rotation is equal R for turn of geodesic line. The parameter TG operates there will be a turn whether or not on torus surface.
See the Picture.
TG is equal tan(asin(R/(R+r))), and here R=2, r=1 than TG is equal 0.894427191... it is du/dv in initial point u=0,v=0 of geodesic line.

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Walking on a torus minimum distance
Distance between two points on the Clifford torus
The furthest point to this torus