水龙头问题

hjfmhh

请教

kuing

直觉上这样画最小（r=3）：

但要如何严格论证不存在更小方案，还不知道。

顺便说说设置选项 D 的来由：
D 化简就是 `3\sec(\pi/7)`，如果你这样画：

那就会去选 D。
（其实如果从实际出发这种应该更好，上面那种洒在外面的水太多了）

Czhang271828

kuing 发表于 2023-3-10 14:34
直觉上这样画最小（r=3）：

但要如何严格论证不存在更小方案，还不知道。

严格论证($7$ 取等)的思路很简单, 计算有点复杂, 我猜下面的是对的:
1. 覆盖边界至少需要 $6$ 个. 注意到每个小圆盘能覆盖的最大弧长 $\rho$ 是确定的.
2. 继而断言 $6$ 个不能覆盖整个圆盘. 若能, 则至少有一个小圆盘经过大圆盘圆心, 从而覆盖的大圆弧长至多是 $\rho'$. 计算应该可得 $\rho'+5\rho<2\pi R$.

再经过观察, kuing 画的图 1 中, 六个交于大圆边界的小圆恰好以大圆的弦为直径, 从而覆盖的弧长恰好是 $\rho$. 我的第二步可以因此舍去.

hjfmhh

Czhang271828 发表于 2023-3-10 16:44
严格论证($7$ 取等)的思路很简单, 计算有点复杂, 我猜下面的是对的:
1. 覆盖边界至少需要 $6$ 个. 注意到 ...

应该是浙江2007年高考题改编的