Bevan point

hbghlyj

the geometry of the orthological triangles by F Smarandache · 2020
Definition. 从 $A_1,B_1,C_1$ 到 $A,B,C$ 的垂线共点，则称 $\triangle A_1B_1C_1,\triangle ABC$ orthological。

Francisco-Javier-Barycentric-Coordinates-pp.32-48.pdf 例5.4.1
Example. $\triangle XYZ$ 为 $\triangle ABC$ 的extouch triangle，则 $\triangle XYZ,\triangle ABC$ orthological。

证明

$X,Y,Z$ 是旁切圆与 $BC,CA,AB$ 的切点，具有重心坐标 $X = (0 : s − b : s − c), Y = (s − a : 0 : s − c),Z = (s − a : s − b : 0)$。
$BC$ 的无限远点是 $(0 : 1 : 0) - (0 : 0 : 1) = (0 : 1 : −1)$。则 $BC$ 的垂线的无限远点是\begin{aligned} &S_{B} \cdot 1-S_{C}(-1): S_{C}(-1)-S_{A} \cdot 0: S_{A} \cdot 0-S_{B} \cdot 1 \\ &= \left(S_{B}+S_{C}:-S_{C}:-S_{B}\right)\\&=\left(-a^{2}, S_{C}, S_{B}\right)\end{aligned}则从 $X$ 到 $BC$ 的垂线具有 重心坐标 方程$$\left|\begin{array}{ccc}0 & s-b & s-c \\ -a^{2} & S_{C} & S_{B} \\ x & y & z\end{array}\right|=0\Leftrightarrow s(b − c)x + a(s − c)y − a(s − b)z = 0$$类似地，从 $Y , Z$ 到 $CA, AB$ 的垂线为\begin{align*}−b(s − c)x + s(c − a)y + b(s − a)z &= 0,\\
c(s − b)x − c(s − a)y + s(a − b)z&= 0.\end{align*}这三条线的交点称为 $\triangle ABC$ 的 Bevan point。

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若 $\triangle XYZ$ 为 $\triangle ABC$ 的旁extouch triangle，仍然共点