Thom's lemma

hbghlyj

Lectures in Real Geometry-De Gruyter (1996) page 45
符号条件是 $> 0$、$< 0$ 或 $= 0$。广义符号条件是 $> 0$ 或 $< 0$ 或 $= 0$ 或 $\ge 0$ 或 $\le 0$。
广义符号条件的 $d$ 元组$σ = (σ(i))_{i=0,\dots,d-1}$的放松 $\barσ$ 是分别用 $\ge 0,\le 0$ 替换 $σ$ 中的 $> 0,< 0$。
命题 5.9（Thom's lemma） $P$ 为 $p$ 次多项式，系数属于 $\mathbf R$，$i$阶导数为$P^{(i)}$，$σ = ( σ(i))_{i=0,\dots,p-1}$为广义符号条件的 $p$ 元组。
设 $$R(σ) = \set{x\in\mathbf R \mid P^{(i)}(x)σ(i), i= 0,\dots,p - 1}$$那么：
(i) $R(σ)$ 要么是空集，要么是一个点，要么是一个（闭、开或半开）区间，
(ii) 如果 $R(σ)$ 非空，则 $R(σ)$ 的闭包为 $R(\barσ)$。

hbghlyj

通过放松一组不等式并不总是获得由严格不等式定义的集合的闭包，例如 $\set{x\in\mathbf R\mid x^3-x^2 > 0}=(1,\infty)$，而 $\set{x\in\mathbf R\mid x^3-x^2 \ge 0}=\{0\}\cup[1,\infty)$。