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kuing
Posted 2023-3-13 18:59
补充一下 2# 吧，在群里我懒得写证明。
其实“证明 `\cos(\pi x+\sin x)` 不是周期函数”这本身也是个挺不错的题目。
设 `h(x)=\cos(\pi x+\sin x)`，假设它的周期是 `T`，显然 `h(x)=h(-x)`，则有 `h(T+x)=h(T-x)`，即
\[\cos\bigl(\pi(T+x)+\sin(T+x)\bigr)=\cos\bigl(\pi(T-x)+\sin(T-x)\bigr),\]
和差化积后变成
\[\sin(T\pi+\sin T\cos x)\sin(\pi x+\cos T\sin x)=0,\]
上式要对任意实数 `x` 恒成立，分别令 `x=\pi` 以及 `x=2\pi` 得到
\begin{align*}
\sin(T\pi-\sin T)&=0,\\
\sin(T\pi+\sin T)&=0,
\end{align*}
两式相加、两式相减，得到
\begin{align*}
\sin(T\pi)\cos(\sin T)&=0,\\
\cos(T\pi)\sin(\sin T)&=0,
\end{align*}
由于 `\sin T\in[-1,1]`，有 `\cos(\sin T)>0`，于是 `\sin(T\pi)=0`，因此 `T\inZ`，那么 `\cos(T\pi)=\pm1`，于是 `\sin(\sin T)=0`，再由 `\sin T\in[-1,1]` 那只能 `\sin T=0`，又要 `T\inZ` 那只能 `T=0`，所以周期不存在。 |
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