视角最大化

hbghlyj

Regiomontanus' angle maximization problem

Solution by calculus

求 $x$ 最大化 $\theta$ $$\tan\theta={\frac {{\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}.$$ $b-a$是常数，所以要最大化$\frac {x}{x^{2}+ab}$ $$ {\rmd \over\rmd x}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}.\end{cases}}$$ 因此 $\theta$ 随着 $x$ 从 $0$ 到 $\sqrt{ab}$ 而增加，随着 $x$ 从 $\sqrt{ab}$ 增加而减小。因此，当 $x = \sqrt{ab}$ 时，角度最大。

hbghlyj

当线段固定在$(0,±L)$时, 由1#得, 视角最大点$P(x,y)$的轨迹是等轴双曲线$x^2=(y+L)(y-L)$

kuing

初中问题啊，搞什么求导……
利用圆周角相等可知，当外接圆与 x 轴相切时视角最大，然后由切割线定理立得 x 的位置。

hbghlyj

求二阶导可知 $x=\sqrt{3ab}$ 时，$\theta$ 随 $x$ 变化得最慢$${\rmd^2 \over\rmd x^2}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)=\frac{2 x \left(x^2-3 a b\right)}{\left(a b+x^2\right)^3}$$

hbghlyj