The Inscribed Squares Problem

hbghlyj

[Mark J. Nielsen and S.E. Wright, Rectangles inscribed in symmetric continua, Geometriae Dedicata 56: 285-297 (1995).] THEOREM A: 每条关于原点对称的简单闭合曲线都有一个内接正方形。
证明：设 $J$ 是关于原点对称的简单闭合曲线（因此对于 $J$ 上的每个点 $P$ 点 $-P$ 也在 $J$ 上）。设 $f:\mathbb R^2 \to\mathbb R^2$ 是将平面中的每个点围绕原点旋转 90 度的函数。 请注意，在上图中，\(J\) 和 \(f(J)\) 相交。我们很快就会看到这一定会发生——这两条曲线必须有一个公共点。所以，暂时假设有这样一个点，在 \(f(J)\) 上选择一个点 \(f(P)\) 也在 \(J\) 上（如上图）。 那么不难看出 \(P, f(P), -P,\) 和 \(-f(P)\) 这四个点（都是 \(J\) 上的点）构成正方形。 我们现在只需证 \(J\) 和 \(f(J)\) 确实有公共点：设 \(P_\text{near},P_\text{far}\) 是 \(J\) 距原点 \(O\) 最近/远的点。则：

• $f(P_\text{near})$ 比 $J$ 的任何点距 $O$ 更近（因为 $f$ 不会改变点与 $J$ 的距离）。
• 类似地 $f(P_\text{far})$ 比 $J$ 的任何点距 $O$ 更远。
• 因此，$f(P_\text{near})$ 在 $J$ 内部或之上，而 $f(P_\text{far})$ 在$J$ 外面或上面。
• 如果$f(P_\text{near}),f(P_\text{far})$其中一个在 $J$ 上，那么我们就完成了（因为我们已在 $J$ 上找到 $f(J)$ 的点）。
• 否则，$f(J)$ 将 $J$ 内的点连接到 $J$ 外的点，所以它必须与 $J$ 相交！

hbghlyj

[Mark J. Nielsen, Rhombi inscribed in simple closed curves, Geometriae Dedicata 54: 245-254 (1995).]
THEOREM B: 每条简单的闭合曲线都有许多内切平行四边形和许多内切菱形。事实上，如果 $J$ 是任何简单的闭合曲线，$L$ 是任何直线，则 $J$ 有一个内切菱形，其两条边平行于 $L$。

证明：首先，我们不妨假设直线 $L$ 是 $x$ 轴，因为我们可以任意选择坐标系。我们需要证明 $J$ 有一个带有两条水平边的内切菱形。该证明使用了一种我们可以称之为“爬山”的技术。想象曲线 $J$ 代表一座“山”的两个面。山脚将在具有最小 $y$ 坐标的某个点 $P$ 处，而其山顶将在具有最大 $y$ 坐标的点 $Q$ 处。假设最小 $y$ 坐标为零，因此点 $P$ 实际上位于 $x$ 轴 $L$ 上。 想象一下这座山上有四个登山者。两个将从基地 $P$ 开始向上攀登（在山的每个面上各一个），以便它们的高度（$y$-坐标）始终保持相等。当然，有时候，一对中的一个必须后退一点，让另一个在他们再次开始攀登之前先下山。另一对登山者将从山顶 $Q$ 开始，然后下山（同样，每面一个），他们的海拔高度始终保持相等。下一步，就需要四位登山者更加配合了！让我们让这两对协调他们的努力，使上升对之间的距离始终等于下降对之间的距离。这可能需要其中一对偶尔暂时改变他们的路线，但可以证明这是可能的。
由于这种协调，四个登山者的位置总是形成一个内接于 $J$ 的平行四边形，平行四边形的两条边是水平的。最初平行四边形很高很瘦，但最终会变得很矮很胖（接近两人在上下山的路线上相互擦肩而过的时刻）。在两者之间的某个时间，平行四边形必须是菱形！

hbghlyj

youtube.com/watch?v=AmgkSdhK4K8
[Proof due to Vaughan, included in the paper Balancing acts, Topology Proc. 6: 59-75 (1981) by Mark D. Meyerson.]
THEOREM C: 每条简单闭合曲线至少有一个内接矩形。

由于$J$与圆$C$相胚，因此$J\times J$同胚于环面$C\times C$。考虑环面的最常见方法是将正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 的相对边缝合在一起（因此 $ (0,2/3)$ 和 $(1,2/3)$ 代表同一个点）。

现在让 $X$ 表示曲线 $J$ 上所有（无序）点对的集合。换句话说，$X$ 中的“点”将是 $J$ 上的一对点 $\{P,Q\}$。现在我们圆环上的点表示 $J$ 上的有序点对（因为环面是 $J\times J$）。 但是 $J\times J$ 中的 $(P,Q)$ 和 $(Q,P)$ 都表示 X 中的“点”$\{P,Q\}$，因此在拓扑上我们可以将 $X$ 视为我们将环面“折叠”到自身上时得到的东西， 将 $(P,Q)$ 与 $(Q,P)$ 粘合在一起。 使用我们将环面表示为正方形 $[0,1]\times[0,1]$，这为我们提供了 $X$ 的图片，就像我们将这个正方形沿其对角线折叠以等同两点 $(s,t)$ 和 $(t,s)$ 成一个“点”$\{s,t\}$。请注意，正方形的对角线对应于有序对 $(P,P)$，因此对应于 $J$ 上点的单元素集 $\{P\}$（而不是 $X$ 中的双元素集）。

剪切和粘贴向我们展示了 $X$ 实际上是一个莫比乌斯带（更具体地说是一个开集莫比乌斯带，因为它的边界曲线是“单集”的缺失对角线）——见下图。

你可能想知道这是走向何方。很快就会看到莫比乌斯带 $X$ 的重要性。
将 \(R^2\) 想象为位于 \(x,y,z\)-空间 \(R^3\) 内的平面 \(z=0\)，并想象 \(J\) 位于该平面上 .
定义函数 \(f:X\to R^3\)：\(f(\{P,Q\})\) 是 \(R^3\) 中位于中点正上方的点，\(z\) 坐标等于从 \(P\) 到 \(Q\) 的距离。

此函数显然将我们的莫比乌斯带 \(X\) 带入 \(x,y\) 平面上方的区域，并将其边界缝合到曲线 \(J\) 上（因为\(X\) 的点 \(\{  P,Q\}\) 靠近 \(X\) 的边界，\(P\) 到 \(Q\) 的距离变得很小，因此 \(z\)-坐标 \(f(\{P,Q\})\) 变得非常接近于零）。

这个函数不是一对一的。也就是说，像集 $f(X)$ 必须有重叠，其中 $X$ 的一个以上点被带到 $\mathbb R^3$ 的同一点。（尝试自己制作一个莫比乌斯带，并将其边界缝到桌面上的一个圆圈上。你会被说服的！）。拓扑学家可能需要更有说服力的证据，但只要你提醒他们不能将通过将圆盘缝合到莫比乌斯带得到的空间（称为“投影平面”）嵌入到 3D 空间中，他们就会相信。

hbghlyj

[Mark D. Meyerson, Equilateral triangles and continuous curves, Fund. Math. 110: 1-9 (1980).]
THEOREM D: 如果 $J$ 是任何简单闭合曲线且 $T$ 是任何三角形，则 $J$ 有一个与 $T$ 相似的内接三角形。
证明分五个步骤进行。
Step 1. 在曲线 $J$ 内放置一个圆，并朝某个方向移动它，直到它接触到 $J$。
Step 2. 令 $X$ 为该圆首先接触 $J$ 的点（可能不止一个这样的点）。在圆内画一个三角形 $XYZ$，使 $XYZ$ 与 $T$ 相似，$YZ$ 为最长边（任何三角形都可以内接在一个圆中）。现在将 $Y$ 和 $Z$ 按比例从 $X$ 移开使 $XYZ$ 始终与 $T$ 相似。当其中一个触及曲线 $J$ 时停止运动。

Step 3. 如果 $Y$ 和 $Z$ 同时接触 $J$，那么我们就完成了（因为 $XYZ$ 将内接于 $J$）。假设 $Y$ 首先接触。现在在曲线 $J$ 上有 $X$ 和 $Y$，$Z$ 仍在 $J$ 内。选择 $J$ 上距离最大的两个点 $P$ 和 $Q$。逐渐将 $X$ 沿 $J$ 移向点 $P$，移动 $Z$ 以保持 $XYZ$ 与 $T$ 相似。
Step 4. 一旦 $X$ 移动到 $P$，开始沿着曲线向 $Q$ 移动 $Y$，移动 $Z$ 以保持 $XYZ$ 与 $T$ 相似。

Step 5. 现在 $YZ$ 至少与 $XY$ 一样长（因为假定 $YZ$ 是三角形的最长边）并且 $XY$ 是 $J$ 上任意两点可能的最大距离。因此，$Z$ 必须在曲线 $J$ 上或外部。如果它在 $J$ 上，那么我们就完成了（因为 $XYZ$ 将内接于 $J$），如果它在 $J$ 外，那么我们知道在步骤 3 和 4 中的某时 $Z$ 一定已经越过 $J$，因为它开始在 $J$ 内。在 $Z$ 穿过 $J$ 的那一刻，我们得到了我们想要的内接三角形。

hbghlyj

[Mark J. Nielsen, Triangles inscribed in simple closed curves, Geometriae Dedicata 43: 291-297 (1992).]
THEOREM E: 设 J 是任何简单的闭合曲线，T 是任何三角形，并设 V 是 J 上的点集，这些点是 J 中与 T 相似的内接三角形的顶点。那么集合 V 在 J 中是稠密的（意味着有 V 的点任意接近 J 的任何给定点）。

hbghlyj

[Eric Rawdon and Jonathan Simon, unpublished(?) -- correspondence with Professor Victor Klee.]
THEOREM F: 如果 $T$ 是任意三角形，并且 $J$ 是 $\mathbb R^3$ 中的一条简单闭合曲线，且至少在一点处可微（具有切线），则 $J$ 具有与 $T$ 相似的内接三角形。

hbghlyj

New Geometric Perspective Cracks Old Problem About Rectangles