满足 $f^2(x)=x$ 的除离散点外是连续的函数 $f$

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/3316558/
考虑 $f$ 是连续的并且 $f(x) \ne x$ 的最大开区间。在这些区间中，设 $A_k$ 是 $f(x) > x$ 的区间，$B_k$ 是 $f(x) < x$ 的区间。
请注意，如果 $f(x) > x$，$f(f(x)) = x < f(x)$。因此 $f$ 必须将每个区间 $A_j$ 映射到区间 $B_k$，然后将 $B_k$ 映射到 $A_j$。 此外，很容易看出这些映射必须是双射。

另一方面，考虑将 $\mathbb R$ 划分为有限多个区间。这些区间的端点集可以通过任何对合置换（因此是不相交对换之积）映射到自身。
让一些开区间与其他区间配对；在不成对的区间上，取 $f(x)=x$。如果区间 $A$ 与区间 $B$ 配对，令 $f$ 到 $A$ 的限制是 $A$ 到 $B$ 的任何同胚，而到 $B$ 的限制是该同胚的逆。 结果是满足 $f^2(x)=x$ 的函数 $f$，除端点集外是连续的。