判定整数值多项式

hbghlyj

MSE - Avoiding brute force: determining when a specific polynomial in Q[x] is an integer for any integer x
对于任何 $d$ 次多项式 $f(n)$，如果对于某个整数 $k$
$$f(k),f(k+1),…,f(k+d-1)$$
都是整数，那么对于所有整数 $n$，多项式取整数值。
使用差分表将 $f$ 表示为多项式$x \choose k$的 $\Bbb Z$-线性组合。公式是\[f(x) = \sum_{k=0}^\infty \Delta^k\!f(0) {x \choose k}\]其中$\Delta^k\!f(0)$当$k>d$时等于0，所以和式只有有限的非零项。