SU(4) 中的矩阵的迹的集合

hbghlyj

$\theta_j\in\mathbb R,\sum_{j=1}^4\theta_j=0,$设
\begin{cases}X=\frac14\sum_{j=1}^4\cos \theta_j\\
Y=\frac14\sum_{j=1}^4\sin \theta_j
\end{cases}求证$$\abs X^{2 / 3}+\abs Y^{2 / 3} \leq 1$$
3 Special unitary groups SU(n), n ≥ 4
Puzzle 4

Czhang271828

照原文说的, 凑三倍角公式即可.

建议使用 $\texttt{\left\\{ \right\\}}$ 表示集合, 或者用 $\texttt{\vert \vert}$ 代替 $\texttt{| |}$. 主要是因为指令 $\texttt{\Set{ }}$ 将不分条件地把第一个 $\texttt{|}$ 变大. 以及, 集合中间采用 $\texttt{:}$ 或者 $\texttt{\mid}$.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-3-15 16:20
$\texttt{\Set{ }}$ 将不分条件地把第一个 $\texttt{|}$ 变大.

确实. 我刚注意到这个.

documentation for package braket
In \Braket these vertical lines will expand to match the arguments, and in \Set the first vertical will expand.
...
You should use the vertical bar character “|” to input any extra vertical lines.

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-3-15 16:20
照原文说的, 凑三倍角公式即可.

由(12)\[4 (X+i Y)=3 \cos (\theta )+\cos (3 \theta )+i (3 \sin (\theta )-\sin (3 \theta ))\]
分开实虚部
\begin{cases}
X={3 \cos (\theta )+\cos (3 \theta )\over4}\\
Y={3 \sin (\theta )-\sin (3 \theta )\over4}
\end{cases}用三倍角公式\begin{cases}
X=\cos^3(\theta)\\
Y=\sin^3(\theta)
\end{cases}即$\abs X^{2/3}+\abs Y^{2/3}=1$
这就是(22)的$n=1$情况. 但原文中(22)是关于spin group, 不懂啊, 可能和SU(4)有什么关系

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-3-15 23:41
由(12)\[4 (X+i Y)=3 \cos (\theta )+\cos (3 \theta )+i (3 \sin (\theta )-\sin (3 \theta ))\]
分开实 ...

你看原文，全用复数表示后再找使得偏导等于零时的解即可。

写一下吧. 原文求的也是 $Z:=\dfrac{1}{4}(z_1+z_2+z_3+1/(z_1z_2z_3))$ 的值域. 考虑 $\dfrac{\partial Z}{\partial z_i}=0$ 得 $1-\dfrac{1}{z_1z_2z_3z_1}=0$, 从而 $z_1=z_2=z_3$ 时取等. 代入 $z_1=z_2=z_3=e^{i\theta}$ 可知
\[
4Z=[3\cos \theta+\cos(-3\theta)]+i[3\sin\theta+\sin(-3\theta)]=4\cos ^3\theta+4i\sin^3\theta.
\]
容易验证 $Z=X+iY$ 的取值在边界内, 即 $\sqrt[3]{X^2}+\sqrt[3]{Y^2}\leq 1$.